Matrice avec déterminant de Vandermonde

Bonjour j'espère que vous allez bien ? J'ai besoin d'aide de votre part pour cet exercice que j'essaie de faire , je n'arrive pas à avoir une issue.
Exercice :

Sans calculer le det A et explique pourquoi le det A = 0
( 1 12 -9 )
A =( -12 -6 -30 )
( 9 15 12 )
Montrer que :
| 1 a a² |
| 1 b b² | = ( b - a )(c - a )(c- b ).
| 1 c c² |
( Déterminant de Vandermonde ).
Soit ( a, b, c ) ∈ ℝ³. Soient Pa = ( X - a )², Pb = ( X - b )² et Pc = ( X - c )².
a) Trouver les coordonnées Pa, Pb et Pc dans la base canonique ( 1, X ,X²).
b) Les polynômes Pa , Pb et Pc sont linéairement indépendants si , le déterminant de la matrice M dont les colonnes sont respectivement formées des coordonnées de Pa , Pb et Pc , est non nul.
i ) En utilisant le déterminant de Vandermonde , monter que det M = 2(b - a )(c - a )(c - b ).
ii )Trouver les conditions pour que Pa ,Pb et Pc soient linéairement indépendants dans ℝ₂[X].
Merci pour toutes vos réponses d'aide

@medou-coulibaly , bonjour,

Piste pour la 1)

Par exemple, tu peux prouver qu'une colonne de la matrice $A$ est combinaison linéaire des deux autres colonnes.

Essaie.

@mtschoon Madame une colonne de la matrice par combinaison liainéaire , comment on montre çà

@medou-coulibaly, bonjour,

@medou-coulibaly a dit dans Matrice avec déterminant de Vandermonde :

@mtschoon Madame une colonne de la matrice par combinaison liainéaire , comment on montre çà

Par observation (avec "petits calculs de tête"), vu que l'énoncé indique "sans calculer Det A"

@medou-coulibaly ,

Soit $C_1,C_2,C_3$ (de gauche à droite) les 3 matrices colonnes qui constituent la matrice $A$

Tu peux observer , en ajoutant $C_2$ avec $C_3$ que :
$12 - 9 = 3 = 3 (- 1)$
$- 6 - 30 = 36 = 3 (- 12)$
$15 + 12 = 27 = 3 (9)$

Donc $C_2+C_3=3C_1$
$C1=13C2+13C3C_1=\dfrac{1}{3}C_2+\dfrac{1}{3}C_3$ ,
d'où la réponse cherchée.

@mtschoon Bonjour madame j'ai compris merci car je ne comprenais pas la question.
Aussi la 2) le déterminant de Vandermonde

@medou-coulibaly , bonjour,

Je te mettrais une démarche pour la 2) , mais je te conseille de commencer à chercher avant.

@mtschoon ok d'accord madame j'ai compris.
Dans le cours on a en pas parlé.

@medou-coulibaly
Regarde ton cours sur les propriétés des déterminants des matrices.
On ne modifie pas un déterminant si on ajoute à une ligne (ou une colonne) une combinaison linéaire des autres lignes (ou des autres colonnes).

Soit $V$ la matrice que tu donnes à la question 2)
Soit $C_1,C_2,C_3$ (de gauche à droite) les 3 matrices-colonnes qui constituent la matrice $V$ .

La matrice-colonne $C_1$ est composée de $1, 1, 1$ .
Il faut trouver une matrice $N$ dont la colonne $C_1$ est composée de $1, 0, 0$ pour faire les calculs du déterminant de $N$ de façon simple, en utilisant la propriété indiquée en caractères gras.

En appelant $L_1,L_2,L_3$ les 3 lignes de la matrice $V$ (du haut vers le bas), tu peux faire les combinaisons linéaires suivantes :
$L_1)$
$L_2-L_1)$
$L_3-L_1)$

Tu obtiens une matrice $N$ telle que $D e t (V) = D e t (N)$
Tu calcules $D e t (N)$ et tu le factorises pour obtenir l'expression demandée.

Essaie.

@mtschoon ok Madame jai compris

@mtschoon Bonjour/ Bonsoir Madame je fais mais je n'y parviens pas depuis je suis dessus

@medou-coulibaly Bonsoir,

Indique ton résultat pour la matrice $N$ .

Bonjour,
@medou-coulibaly a dit dans Matrice avec déterminant de Vandermonde :

@mtschoon Bonjour/ Bonsoir Madame je fais mais je n'y parviens pas depuis je suis dessus

Avec les indications que je t'ai données, j'espère que pour $N$ tu as trouvé :
( $1$ .......... $a$ ................... $a^2\ \ \ \ \ \ \ \ )$
( $0$ ........ $b - a$ ......... $b^2-a^2)$
( $0$ ........ $c - a$ .......... $c^2-a^2)$

Désolée pour la mauvaise présentation de la matrice $N$ mais j'avais des problèmes d'alignement avec la fonction pmatrix du Latex

En calculant $D e t (N)$ avec la première colonne (c'est le but):

$Det(N)=1×[(b−a)(c2−a2)−(c−a)(b2−a2)]Det(N)=1\times [(b-a)(c^2-a^2)-(c-a)(b^2-a^2)\biggr]$

Identités remarquables
$D e t (N) = (b - a) (c - a) (c + a) - (c - a) (b - a) (b + a)$

IL te reste à faire une mise en facteur pour trouver le résultat demandé.

@mtschoon Bonsoir madame je suis de retour sur mon exercice

@medou-coulibaly , bonjour,

C'est bien de te replonger dans cet exercice car le déterminant de Vandermonde est un "classique".

Je pense que tu as factorisé sans problème.

$D e t (N) = (b - a) (c - a) (c + a) - (c - a) (b - a) (b + a)$
$Det(N)=(b−a)(c−a)((c+a)−(b+a))Det(N)=(b-a)(c-a)\biggr((c+a)-(b+a)\biggr)$
$Det(N)=(b−a)(c−a)((c+a−b−a))Det(N)=(b-a)(c-a)\biggr((c+a-b-a)\biggr)$
$Det(N)=(b−a)(c−a)(c−b)\boxed{Det(N)=(b-a)(c-a)(c-b)}$

@mtschoon Bonjour madame

@medou-coulibaly ,

Quelques pistes pour la 3)

a) Utilise tout simplement l'identité remarquable usuelle $A-B)^2$

$P_a=a^2-2aX+X^2$ donc les coordonnées de $P_a$ dans la base canonique $1,X,X^2)$ sont $a^2,-2a,1)$

Même principe pour $P_b$ et $P_c$

Tu peux déduire que $1∣Det(M)=\begin{vmatrix}a^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ b^2 \ \ \ \ \ \ \ \ c^2\cr -2a\ -2b\ -2c \cr 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \end{vmatrix}$

Il faut ensuite utiliser les propriétés usuelles des déterminants
Regarde ton cours, sinon, consulte ici :
https://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch11/co/apprendre_ch11_16.html

En échangeant lignes avec colonnes , tu obtiens la matrice transposée de $M$ notée généralement $^t M$ qui à le même déterminant :
$Det(M)=Det(^t M)$
Donc :
$1∣Det(M)=\begin{vmatrix}a^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ -2a \ \ \ \ \ \ \ \ 1\cr b^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -2b\ \ \ \ \ \ \ \ 1 \cr c^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ -2c\ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \end{vmatrix}$

Ensuite, tu mets $- 2$ en facteur :
$1∣Det(M)=(-2)\begin{vmatrix}a^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ a \ \ \ \ \ \ \ \ 1\cr b^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b\ \ \ \ \ \ \ \ 1 \cr c^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c\ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \end{vmatrix}$

En échangeant la première colonne avec la troisième, le déterminant change de signe, d'où:
$c2∣Det(M)=(2)\begin{vmatrix}1\ \ \ \ \ \ \ \ \ a \ \ \ \ \ \ \ \ a^2\cr 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b\ \ \ \ \ \ \ \ b^2 \cr 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ c\ \ \ \ \ \ \ \ \ c^2 \end{vmatrix}$

Tu reconnais le déterminant de Vendermonde et tu utilises la réponse du 2) pour trouver :
$Det(M)=2(b−a)(c−a)(c−b)\boxed{Det(M)=2(b-a)(c-a)(c-b)}$

La fin de l'exercice est la conséquence de cette expression .
Donne ta conclusion si tu le souhaites.

@mtschoon je essaye et vous faites un retour

@medou-coulibaly , bonjour,

@medou-coulibaly a dit dans Matrice avec déterminant de Vandermonde :

@mtschoon je essaye et vous faites un retour

Je vois que tu as posté un nouvel exercice sur le forum.
Ce serait bien de terminer celui-ci avant d'en commencer un autre.

@mtschoon Bonjour madame, oui je vous comprends mais l'exercice posté est un DM et je bloque sur la 2,a, b et 3 )
Raison pour laquelle j'ai posté ce exercice

@medou-coulibaly , bonjour,

Je viens de t'indiquer des pistes pour ton dernier exercice posté.
Je te conseille de commencer par approfondir ton cours où tu trouveras les méthodes adaptées et consulter aussi des anciens topics que tu as postés.
Bon travail.

@mtschoon Bonjour madame j'ai compris, merci beaucoup

@mtschoon Bonjour/Bonsoir madame je suis de retour sur mon exercice

@medou-coulibaly , bonjour,

J'espère que tu as terminé ton exercice.

La fin ( le 3 ii ) est immédiate

L'énoncé t'indique que les polynômes $P_a , P_b \ et \ P_c$ sont linéairement indépendants lorsque $d e t (M)$ est non nul.

Vu la factorisation trouvée au (3 i) , tu peux déduire :

$det(M)≠0det(M)\ne 0$ <=> ${a≠bb≠cc≠a\begin {cases} a\ne b\cr b\ne c\cr c\ne a \end{cases}$

D'où la conclusion.

Bonnes réflexions sur cet exercice.

@mtschoon merci beaucoup je vais refaire tout ça