question réflexion équations

bonsoir a tous j'espère vous vous portez bien
une petite question
on a : $x, y$ appartiennent à $Z$ on a $7^{x-2}=5^{y+5}$
on me demande de trouver la valeur de $\times y$ merci de donner une indication

Bonjour,

Toutes les puissances strictement positives de 7 ont pour chiffre unité un des chiffres suivant : 1, 7, 9, 3
Toutes les puissances strictement positives de 5 ont pour chiffre unité le 5

Toutes les puissances strictement négatives de 7 peuvent s'écrire 1/N avec le chiffre des unités de N un des chiffres suivant : 1, 7, 9, 3

Toutes les puissances strictement négatives de 5 peuvent s'écrire 1/N' avec le chiffre des unités de N' étant 5

Et donc, si (x-2) et (y+5) sont dans Z*, pas de solutions à 7^(x-2) = 5^(y+5)

MAIS avec des exposants nuls, donc pour (x-2) = 0 ET (y+5) = 0, alors ...

je ne comprend pas !

n'y a t-il pas une propriété plus formelle sur la question? le résultat est $- 10$ en appliquant ce qui est indiqué par @Black-Jack ca donne mais je ne comprend pas le raisonnement qui conduit a la conclusion selon laquelle dans Z* il y a pas de solution

Bonjour,

Avec x et y : entiers :
Supposons x > 2
x = 3 --> 7^(x-2) = 7^1 = 7 (chiffre des unités = 7)
x = 4 --> 7^(x-2) = 7^2 = 49 (chiffres des unités = 9)
x = 5 --> 7^(x-2) = 7^3 = 343 (chiffres des unités = 3)
x = 6 --> 7^(x-2) = 7^4 = 2401 (chiffres des unités = 1
Si on poursuit ainsi, en augmentant x, on remarque que le chiffre des unités de 7^(x-2) est forcément un des chiffres 1, 3, 7 et 9

Or le chiffre des unités de 5^(y+5) avec y+5 > 0 est forcément 5

Donc avec x-2 > 0 et y+5 > 0, il est impossible d'avoir 7^(x-2) = 5^(y+5)

Un raisonnement analogue montre qu'avec x-2 < 0 et (y-5) < 0 (voir explications dans mon intervention précédente) il est également impossible d'avoir 7^(x-2) = 5^(y+5)

Donc la seule possibilité pour avoir 7^(x-2) = 5^(y+5) est que x-2 = 0 et y+5 = 0, dans ce cas, on a 7^0 = 5^0 (soit 1 = 1)

Donc avec x et y dans Z, la seule possibilité d'avoir 7^(x-2) = 5^(y+5) est qu :
x = 2 et y = -5

OK ?

Merci bien compris cette fois ci