Fonction de Lambert pour resoudre une équation

Rebonsoir j'ai un soucis
je dois résoudre l'équation
$x^x+x^x+x^x+x^x=2^{26}$ soit $4x^x=2^{26}$ soit $x^x=2^{24}$
par transformation et a l'aide de la fonction de Lambert j'obtiens; $ln{x}=W(24\ln{2})$ soit
$x=e^{W(24\ln{2})}$
sachant que $W(x)=xe^x$ dois je calculer directement l'image ou alors je bloque aidez moi la solution est $x = 8$

Bonjour,

Pourquoi employer un canon pour tuer une mouche ?

2^24 = (2^3)^8 = 8^8

et donc x^x = 2^24 --> x = 8

Bonjour Merci pour ta réponse @Black-Jack la consigne demande de travailler avec la fonction de Lambert merci bien

Bonjour,

@loicstephan a dit dans Fonction de Lambert pour resoudre une équation :

sachant que $W(x)=xe^x$ dois je calculer directement l'image ou alors je bloque aidez moi la solution est $x = 8$

@loicstephan , tu fais une erreur sur la fonction de Lambert (la formule que tu donnes est fausse).

Tu fais une confusion entre la bijection utile $f$ et sa bijection réciproque $W$ (qui est la fonction de Lambert)

Regarde ton cours, sinon, consulte le lien ici :
https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./l/lambert.html

Soit $f$ définie par $f(x)=xe^x$
$f$ est une bjection (définie, continue et strictement croissante) de $[−1,+∞[[-1,+\infty[$ vers $[−e−1,+∞[[-e^{-1},+\infty[$
$f$ admet donc une bijection réciproque (definie, continue et strictement croissante) $f^{-1}$ , notée $W$ , de $[−e−1,+∞[[-e^{-1},+\infty[$ vers $[−1,+∞[[-1,+\infty[$

C'est cette bijection réciproque $W$ qui s'appelle fonction de Lambert.

Je te mets la démarche pour comprendre, mais tu n'as pas besoin de le mettre dans l'exercice (en principe, c'est du cours)

Sur les intervalles concernés,
$f^{-1}of=Id$ (application identique)
Donc ici, $W o f = I d$ (application identique)
c'est à dire :
$W o f (x) = x$
c'est à dire
$W [f (x)] = x$
c'est à dire
$W(xex)=x\boxed{W(xe^x)=x}$

Dans ton exercice, tu as $xex=8e8\boxed{xe^x=8e^8}$
Vu que $W$ est bijective (regarde ton cours sur les applications bijectives , c'est à dire injectives et surjectives), tu peux écrire (en prenant la fonction $W$ de chaque membre , l'équivalence logique :
$xe^x=8e^8$ <=> $W(xe^x)=W(8e^8)$

or , $W(xe^x)=x$ et $W(8e^8)=8$

donc $xex=8e8\boxed{xe^x=8e^8}$ <=> $x=8\boxed{x=8}$

Ainsi, tu peux conclure que $8$ (qui était la solution "évidente") est la solution unique de l'équation demandée (c'était ça le but de la fonction ce Lambert : prouver l'unicité de la solution $8$ )

@mtschoon Merci pour ce développement Monsieur mais partant mais partant de ce développement
$ln⁡x=W(24ln⁡2)\ln x=W(24 \ln 2)$ comment arriver à $8$

@mtschoon a dit dans Fonction de Lambert pour ressourdre une équation :

Bonjour,

@loicstephan a dit dans Fonction de Lambert pour resoudre une équation :

sachant que $W(x)=xe^x$ dois je calculer directement l'image ou alors je bloque aidez moi la solution est $x = 8$

@loicstephan , tu fais une erreur sur la fonction de Lambert (la formule que tu donnes est fausse).

Tu fais une confusion entre la bijection utile $f$ et sa bijection réciproque $W$ (qui est la fonction de Lambert)

Regarde ton cours, sinon, consulte le lien ici :
https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./l/lambert.html

Soit $f$ définie par $f(x)=xe^x$
$f$ est une bjection (définie, continue et strictement croissante) de $[−1,+∞[[-1,+\infty[$ vers $[−e−1,+∞[[-e^{-1},+\infty[$
$f$ admet donc une bijection réciproque (definie, continue et strictement croissante) $f^{-1}$ , notée $W$ , de $[−e−1,+∞[[-e^{-1},+\infty[$ vers $[−1,+∞[[-1,+\infty[$

C'est cette bijection réciproque $W$ qui s'appelle fonction de Lambert.

Je te mets la démarche pour comprendre, mais tu n'as pas besoin de le mettre dans l'exercice (en principe, c'est du cours)

Sur les intervalles concernés,
$f^{-1}of=Id$ (application identique)
Donc ici, $W o f = I d$ (application identique)
c'est à dire :
$W o f (x) = x$
c'est à dire
$W [f (x)] = x$
c'est à dire
$W(xex)=x\boxed{W(xe^x)=x}$

Dans ton exercice, tu as $xex=8e8\boxed{xe^x=8e^8}$
Vu que $W$ est bijective (regarde ton cours sur les applications bijectives , c'est à dire injectives et surjectives), tu peux écrire (en prenant la fonction $W$ de chaque membre , l'équivalence logique :
$xe^x=8e^8$ <=> $W(xe^x)=W(8e^8)$

or , $W(xe^x)=x$ et $W(8e^8)=8$

donc $xex=8e8\boxed{xe^x=8e^8}$ <=> $x=8\boxed{x=8}$

Ainsi, tu peux conclure que $8$ (qui était la solution "évidente") est la solution unique de l'équation demandée (c'était ça le but de la fonction ce Lambert : prouver l'unicité de la solution $8$ )

ca s'est pour celui qui sait déjà que la solution est 8 ne sachant pas cela comment partir de l'équation transformé en logarithme pour aboutir à 8

@loicstephan ,
Ce n'est pas Monsieur mais Madame...
C'est sans importance . Le pseudo suffit !

j'espère que tu as vu ton erreur ( $W(x)=xe^x$ ) est FAUX.) et j'espère que tu as compris la démarche exacte.

Ce que tu écris avec $l n x$ me laisse perplexe...! (j'espère que tu n'es pas parti de ta formule fausse...)

Le but de la fonction de Lambert est de transformer directement :
$x^x=8^8$ <=> $W(xe^x)=W(8e^8)$ <=> $x = 8$

C'est tout.

@mtschoon merci Madame compris

@mtschoon a dit dans Fonction de Lambert pour ressourdre une équation :

@loicstephan ,
Ce n'est pas Monsieur mais Madame...
C'est sans importance . Le pseudo suffit !

j'espère que tu as vu ton erreur ( $W(x)=xe^x$ ) est FAUX.) et j'espère que tu as compris la démarche exacte.

Ce que tu écris avec $l n x$ me laisse perplexe...! (j'espère que tu n'es pas parti de ta formule fausse...)

Le but de la fonction de Lambert est de transformer directement :
$x^x=8^8$ <=> $W(xe^x)=W(8e^8)$ <=> $x = 8$

C'est tout

c'est dire que $xln⁡x=8ln⁡8x\ln x=8\ln8$ soit $ln⁡x×eln⁡x=8ln⁡8\ln x \times e^{\ln x}=8\ln8$

@loicstephan ,

Ta dernière ligne écrite est exacte, mais tu n'as pas à transformer en passant par les $l n$

Lorsque tu as l'équation $xe^x=8e^8$ il ne faut pas utiliser la fonction $l n$ , il faut utiliser la fonction $W$ de Lambert.
C'est ça le but.
Bonne réflexion !

@loicstephan a dit dans Fonction de Lambert pour resoudre une équation :

@mtschoon a dit dans Fonction de Lambert pour ressourdre une équation :

@loicstephan ,
Ce n'est pas Monsieur mais Madame...
C'est sans importance . Le pseudo suffit !

j'espère que tu as vu ton erreur ( $W(x)=xe^x$ ) est FAUX.) et j'espère que tu as compris la démarche exacte.

Ce que tu écris avec $l n x$ me laisse perplexe...! (j'espère que tu n'es pas parti de ta formule fausse...)

Le but de la fonction de Lambert est de transformer directement :
$x^x=8^8$ <=> $W(xe^x)=W(8e^8)$ <=> $x = 8$

C'est tout

c'est dire que $xln⁡x=8ln⁡8x\ln x=8\ln8$ soit $ln⁡x×eln⁡x=8ln⁡8\ln x \times e^{\ln x}=8\ln8$

je veux arriver à $\ln x=8 \ln 8$ soit $ln⁡x×eln⁡x=8ln⁡8\ln x \times e^{\ln x}=8 \ln 8$ soit $W(ln⁡x×eln⁡x)=W(8ln⁡8)W(\ln x \times e^{\ln x})=W(8 \ln 8)$ soit $ln⁡x=W(8ln⁡8)\ln x=W(8 \ln 8)$ conformément a la fonction de Lambert soit donc $x=e^{W(8 \ln 8)}$

@loicstephan , bonjour,

Rappel : Tu passes ton temps à compliquer inutilement...
Tu n'as pas à passer par les ln dans cet exercice, tu dois passer par la fonction W (c'est le but)

@mtschoon okay madame compris