Grand oral mathématiques

Bonjour a tous, merci d'avance pour l'aide. Mon sujet de grand oral est : comment les mathématiques peuvent elles améliorer le trafic routier. . J'ai décider de faire une partie sur les équa diff mais je ne sais sait pas si sa rentre dans le cadre du programme de terminale et si c'est cohérent. Meri d'avance pour votre aide!

L'utilisation d'équations différentielles pour modéliser la densité de trafic est une approche courante dans l'étude du trafic routier. Voici comment cela peut être développé :
Pour modéliser l'évolution de la densité de trafic sur une route, on peut utiliser une équation différentielle qui prend en compte l e taux de variation de la densité par rapport au temps.
Supposons que D(t) représente la densité de véhicules à un instant t. On peut modéliser le changement de densité en fonction du flux d'entrée de véhicules (I) et du flux de sortie (O) à l'aide de l'équation différentielle suivante :
dD/dt = I - O
Dans cette équation, dD/dt représente la dérivée de la densité par rapport au temps, qui représente le taux de variation de la densité de véhicules sur la route. Le terme I - O représente la différence entre le flux d'entrée et le flux de sortie de véhicules.
Le flux d'entrée (I) peut dépendre de divers facteurs, tels que la densité du trafic sur les routes adjacentes, les feux de signalisation, les voies d'accès, etc. De même, le flux de sortie (O) dépend de facteurs tels que la capacité de la route, les limitations de vitesse, les conditions météorologiques, etc.
Pour résoudre cette équation différentielle, on peut utiliser des méthodes numériques ou des techniques d'analyse mathématique appropriées, en prenant en compte les conditions initiales et les conditions aux limites spécifiques à la situation étudiée.
La solution de cette équation différentielle permet de décrire l'évolution de la densité de trafic au fil du temps. Elle peut être utilisée pour analyser les schémas de congestion, prédire les heures de pointe, évaluer l'efficacité des mesures de gestion du trafic, et développer des stratégies pour améliorer la fluidité du trafic.
Il est important de noter que cette modélisation simplifiée ne tient pas compte de certains aspects complexes du trafic, tels que les interactions entre les conducteurs, les comportements individuels et les événements imprévus. Cependant, elle offre une base pour comprendre comment les équations différentielles peuvent être utilisées pour modéliser la densité de trafic et contribuer à l'amélioration du trafic routier.
Prenons maintenant un exemple concret pour vous aider à comprendre :
Supposons que nous souhaitions modéliser la densité de trafic sur une autoroute pendant une heure de pointe du matin. Nous allons utiliser l'équation différentielle suivante :
dD/dt = I - O
où D(t) représente la densité de véhicules à l'instant t, I est le flux d'entrée de véhicules et O est le flux de sortie de véhicules.
Supposons que le flux d'entrée soit de 200 véhicules par minute et le flux de sortie soit de 150 véhicules par minute. Nous pouvons utiliser ces valeurs pour résoudre l'équation différentielle.
Conditions initiales : À l'instant initial, t = 0, supposons que la densité de trafic soit de D(0) = 50 véhicules/km.
Maintenant, nous pouvons résoudre l'équation différentielle numériquement en utilisant des intervalles de temps discrets. Supposons que nous utilisions des intervalles de temps de 1 minute.
À t = 0, nous avons D(0) = 50 véhicules/km. À t = 1 minute : I = 200 véhicules/minute (flux d'entrée) O = 150 véhicules/minute (flux de sortie) dD/dt = I - O = 200 - 150 = 50 véhicules/minute D(1) = D(0) + (dD/dt) * dt = 50 + 50 * 1 = 100 véhicules/km
Répétons ce processus pour les instants suivants :
À t = 2 minutes : I = 200 véhicules/minute O = 150 véhicules/minute dD/dt = I - O = 200 - 150 = 50 véhicules/minute D (2) = D (1) + (dD/dt) * dt = 100 + 50 * 1 = 150 véhicules/km
Nous pouvons continuer ce processus pour chaque intervalle de temps jusqu'à la fin de l'heure de pointe.
En résolvant numériquement cette équation différentielle à intervalles de temps réguliers, nous obtenons une estimation de la densité de trafic sur l'autoroute tout au long de l'heure de pointe. Cela nous permet de suivre l'évolution de la densité de véhicules et d'identifier les périodes de congestion.

Merci beaucoup d'avance pour votre aide! Bien cordialement

Bonjour,

L'exemple, présenté tel quel, donne (sans calcul) une augmentation de 50 véhicules par minute sur le 1 km mesuré.

Après 1 h (soit 60 minutes), il y aurait donc une augmentation de 60 * 50 = 3000 véhicules sur le 1 km de route mesuré.

Comme au début de la mesure, il y avait 50 véhicules sur le km de route, à la fin de l'heure, il y en aura 50 + 3000 = 3050 ... ce qui est absurde.

Si, par exemple, les véhicules (de 4 m environ) se suivent avec un écart de 11 m (ce qui est beaucoup trop peu), une voiture occupe donc 4 + 11 = 15 m de bande sur la route.

3050 véhicules occuperaient donc 3050 * 15 = 45750 m (environ 46 km). Il faudrait donc que la route comporte 46 bandes de circulation pour que ce soit possible.

En pratique, ce n'est jamais comme cela que cela se passe, le débit d'entrée et le débit de sortie ne peuvent pas rester constants (et différents) dans une situation qui va vers un encombrement.

Mais ne connaissant pas ce qui est attendu dans "un grand oral", je me garderai bien de t'orienter plus avant.

Peut-être que d'autres aidants du site pourront le faire.

@Black-Jack a dit dans Grand oral mathématiques :

Après 1 h (soit 60 minutes), il y aurait donc une augmentation de 60 * 50 = 3000 véhicules sur le 1 km de route mesuré.

merci quand meme pour votre précieuse aide!