Loi de composition interne.

Bonjour, j'espère que vous allez bien. J'ai besoin de l'aide sur cet exercice que je bloque.
Soit * la loi interne définie dans ℝ par
∀ (a,b) ∈ ℝ² a*b=(a².b²) +(a+b).

Vérifier que * est commutative.
Vérifier que * n'est pas associative.
Montrer que ℝ admet un élément neutre pour * et calculer ce neutre.
Résoudre l'équation (E): 1*a = 1.
J'ai besoin de votre aide SVP.

@Donassi-soungari-Soro Bonjour,

Indique tes calculs et la question qui te pose problème.

Calcule : $b * a = . . . .$
Calcule : $(a * b) * c = . . .$
et $a * (b * c) = . . .$

@Noemi bonjour madame, c'est la question numéro 2 qui me complique la tâche

@Donassi-soungari-Soro

Complète :
$(a * b) * c = . . .$
et $a * (b * c) = . . .$
et compare les résultats

Bonjour,

a*b=(a².b²) +(a+b)

(a * b) * c = ((a².b²) +(a+b)) * c
(a * b) * c = ((a².b²) +(a+b))².c² + (a².b²) +(a+b) + c
développe le second membre et sauf erreur, on trouve au final :
(a * b) * c = a^4b^4c² + a²b² + a²c² + b²c² + 2abc²+ 2a³b²c² + 2a²b³c² + a + b + c (1)

a * (b * c) = a².(b * c)² + a + (bc)
a * (b * c) = a².(b².c² + b + c)² + a + (b².c² + b + c)
développe le second membre et sauf erreur, on trouve au final :
a(b*c) = a²b^4c^4 + a²b²+a²c²+ b².c² + 2a²b³c² + 2a²b²c³ + 2a²bc + a + b + c (2)

(1) et (2) --> (a * b) * c n'est pas égal à a * (b * c) et donc ...

@Black-Jack bonjour, merci beaucoup monsieur

@Black-Jack monsieur la question numéro 3

Bonsoir,

@Donassi-soungari-Soro , regarde un peu les définitions de ton cours.

Une remarque pour la question 2)

Pour prouver que $*$ n'est pas associative, un contre-exemple suffit.

Par exemple :
$(1 * 2) = 7$ , puis $(1 * 2) * 3 = 7 * 3 = 451$
$(2 * 3) = 41$ puis $1 * (2 * 3) = 1 * 41 = 1723$

Donc : $\ne 1 * (2 * 3 )$

Donc non assiciativité

Pour la question 3)

e élément neutre : pour tout $a$ de $R$ : $a * e = e * a = a$

Vu que $*$ est commutative, tu peux chercher $e$ qui vérifie seulement $a * e = a$

Donne ton calcul/réponse si tu souhaites une vérification.

@mtschoon bonjour madame, après calcule sauf erreur.
a * e = a.
a * e= a².e² + a + e = a.
a².e² + e=a - a.
a².e² + e=0.
En factorisant on a ;
e(a² + 1)=0
Donc e=0 qui est la seule solution de cette équation.

@Donassi-soungari-Soro , c'est très bien pour la 3)

$0$ est l'élément neutre pour la loi $*$

Tu peux faire le calcul demandé pour la 4) et donner ta réponse pour vérification si tu le souhaites.

@mtschoon Bonjour,je le ferai avec plaisir madame merci infiniment.

@mtschoon après calcule sauf erreur, on a ;
1 * a = 1.
1 * a = 1²a² + 1 + a = 1.
1²a² + 1 + a = 1.
1²a² + a = 1-1.
On sait que 1² =1. Donc ;
a² + a = 0.
En factorisant on a ;
a (a + 1)=0.
a=0 est la solution de cette équation.

@Donassi-soungari-Soro , ton calcul est bon mais il y a deux solutions à l'équation proposée.

$a (a + 1) = 0$ <=> $a = 0$ ou $a + 1 = 0$ <=> $a = 0$ ou $a = - 1$

Les solutions de (E) sont donc $0$ et $- 1$

Pour t'entraîner, tu peux faire les vérifications :
$1 * 0 = 1$
$1 * (- 1) = 1$

Bonne nuit (vu l'heure tardive).

@mtschoon c'est Vu madame. Merci infiniment

De rien @Donassi-soungari-Soro et bon travail.

@mtschoon merci beaucoup madame