Irrationalité de la racine de 3

Bonjour,

Hier soir j'ai réalisé un exercice qui demandait de démontrer l'irrationalité de √3. Après avoir "selon-moi" réussi à démontrer cela j'ai décidé de regarde la correction puis plusieurs corrections et aucune ne ressemblait de près ou de loin à la mienne (par expérience cela veut probablement dire qu'une erreur s'est glissé quelque part ou que je n'ai pas cherché suffisamment de corrections).
Je vais donc vous retranscrire mon raisonnement en espérant qu'un matheux habile puisse détecter une éventuelle erreur.
Ce type de démonstration passe souvent par un raisonnement par l'absurde.

On va donc supposer √3 comme étant rationnel c'est-à-dire pouvant s'ecrire sous la forme p/q avec p et q des entiers premiers entre eux.

On va donc écrire :
√3 = p/q
D'où √3q = p
Ainsi 3q² = p²

Ici q peut être pair ou impair.
Supposons d'abord que q soit impair alors q² est impair puisque nous savons que la carré d'un nombre impair est lui-même impair, aussi 3q² est impair puisque le produit de deux nombre impair est lui-même impaire. Si 3q² est impair alors p² l'est aussi ce qui signifie que p est impair puisque réciproquement si un carré est impair alors la racine carré de ce nombre si elle est entière est aussi impair.
Or un nombre impaire peut s'écrire sous la forme 2k+1 avec k un entier.
Ainsi q = 2q'+1 et p = 2p'+1
Ce qui nous donne :
3(2q'+1)² = (2p'+1)²
3(4q'² +4q'+1) = 4p'² + 4p' +1
12q'² + 12q' + 3 = 4(p'²+p') +1
12q'² + 12q' +2 = 4(p'² + p')
4(3q'² + 3q' + (2/4)) = 4(p'² + p')
3q'² + 3q' + (2/4) = p'² + p'

De là on se rend compte qu'il y a une contradiction puisque si l'on considère conformément à la définition q comme un entier (impair dans ce cas) alors q' est aussi un entier donc q'² est aussi un entier et donc 3q'² est aussi un entier, pareil pour 3q' mais on rajoute à ces deux entier 2/4 = 1/2 ce qui rend le terme de gauche non-entier ce qui implique que le terme de droite est aussi non-entier donc p' n'est pas un entier et donc p ne peut pas l'être.

Maintenant si q est pair la relation suivante 3q² = p² nous permet de voir que p l'est forcément aussi puisque comme dit précédemment si q est pair alors q² l'est aussi et le produit d'un nombre pair et un nombre impair (ici 3) est pair, donc p² est pair donc p l'est réciproquement aussi. Or si p et q sont pair ils ne peuvent pas être premier entre-deux. Voilà la contradiction.

À ce stade pour moi la démonstration est finit peut-être est-elle incomplète ou qu'une ou des erreurs s'y sont glissées.

D'avance merci pour votre lecture, j'attends vos réponses avec impatience.

Bonjour,

Il n'y a aucune erreur, me semble-t-il, cependant on pourrait te reprocher de "passer par Berlin pour aller de Paris à Versailles"

A partir de 3q² = p²

On sait que p² est divisible par 3 et que donc p est aussi multiple de 3 (car ...)
Donc p = 3k (k entier) --> 3q² = (3k)²
q² = 3.k²
Comme q² est multiple de 3, q est aussi multiple de 3 (car ...), donc 3 divise q

3 est alors un diviseur commun de p et q ce qui est contradictoire (puisque p et q sont premiers entre eux).