Résoudre une équations polynomiale

Bonjour à tous,

Dans le cadre d'un dosage d'enzymes j'obtiens une courbe polynomiale avec l'équation de troisième degré de ce type :

y = ax^3 - bx^2 + cx + d

Ayant obtenu les valeurs de y à l'issue de ce dosage, je souhaite trouver la valeur de x correspondant à la concentration cherchée.

Or, je n'arrive vraiment pas à isoler x.

Avez vous des pistes svp pour la résolution de cette problématique ?

En vous remerciant par avance pour vos idées.

a.x³ - b.x² + c.x + d - y = 0

Avec, a, b , c ,d et y connus.

On peut entrer cela (avec les valeurs numériques) dans la plupart des calculettes ... et elle sort les 3 valeurs de x correspondantes (on aura soit 1 valeur réelle et 2 complexes conjuguées ou alors 3 valeurs réelles)

Si on ne veut pas utiliser une calculette, on peut employer la méthode de Cardan que voici résumée :

Rappel succinct de la théorie permettant de résoudre n'importe quelle
équation du type $x^3 + ax^2 +bx + c = 0$ .
En posant $\frac{a}{3}$ , ces équations peuvent être ramenées à la forme :
$y^3 + py + q = 0$ .

3 cas peuvent alors se présenter :

$(q2)2+(p3)3(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3$ > 0
Il y a alors une racine réelle R.
$R=−q2+(q2)2+(p3)33+−q2−(q2)2+(p3)33R=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}$
Il y a aussi 2 racines complexes conjuguées C1 et C2.
$C1=−R2+i.3R2+4p2C1=-\frac{R}{2}+i.\frac{\sqrt{3R^2+4p}}{2}$
$C2=−R2−i.3R2+4p2C2=-\frac{R}{2}-i.\frac{\sqrt{3R^2+4p}}{2}$
'''''
$(q2)2+(p3)3=0(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3= 0$ .
Il y a alors une racine double $-\frac{3q}{2p}$ .
Il y a aussi une 3ème racine : $\frac{3q}{p}$ .
''''
$(q2)2+(p3)3(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3$ < 0
Il y a 3 racines réelles que l'on peut trouver par une méthode
trigonométrique.
$\sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3})$
$\sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{2\pi}{3})$
$\sqrt{\frac{-4p}{3}}.cos(\frac{arccos(-q.\sqrt{\frac{-27}{4p^3}})}{3}+\frac{4\pi}{3})$

Ceci fait, il faut évidemment calculer les valeurs de x correspondantes en utilisant : $\frac{a}{3}$
'''''''''''''''''

ATTENTION, si on part de l'équation : a.x³ - b.x² + c.x + d - y = 0

La valeur numérique de (d-y) est assimilée à la valeur de "d" dans les explication ci-dessus de la méthode de Cardan.

Bonjour,

Je fais un exemple numérique pour montrer ...

Supposons avoir l'équation : y = 4x³+3x²+11x+2 et y = 5

On a donc : 4x³+3x²+11x+2 = 5
4x³+3x²+11x-3 = 0

On divise le tout par 4 pour amener le coefficient des x³ à 1 , on obtient donc :

x³ + 0,75.x² + 2,75.x - 0,75 = 0

On pose x = z - 0,75/3 = z - 0,25 (1)

L'équation devient : (z - 0,25)³ + (z - 0,25)² + 2.75.(z - 0,25) - 0,75 = 0

On développe et on arrive à : z³ + 2,5625.z - 1,40625 = 0

p = 5,5625 et q = -1,40625

On calcule (q/5)² + (p/3)³ = 0,308... Donc > 0, il y a donc une racine réelle et 2 complexes conjuguées.

Je présume que ce qui intéresse est la racine réelle qui vaut :

$z=−q2+(q2)2+(p3)33+−q2−(q2)2+(p3)33z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}$

Et en remplaçant p et q par les valeurs calculées ci-dessus ... on aboutit à z = 0,5

Et par (1), on a donc : x = 0,5 - 0,25 = 0,25

La solution réelle de x³ + 0,75.x² + 2,75.x - 0,75 = 0 est x = 0,25
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On aurait évidemment la solution immédiatement en entrant l'équation 4x³+3x²+11x-3 = 0 dans presque n'importe quelle calculette ...

Bonjour,

Pour résoudre cette équation polynomiale de troisième degré (y = ax^3 - bx^2 + cx + d) et isoler x en fonction de y, vous pouvez utiliser la méthode de Cardano-Tartaglia. Cependant, il existe des cas où cette méthode peut être complexe. Voici une approche simplifiée :

Commencez par réarranger l'équation : ax^3 - bx^2 + cx + d - y = 0.

Utilisez une méthode numérique comme la méthode de Newton-Raphson ou une calculatrice graphique pour trouver une approximation de la valeur de x qui résout cette équation.

Si vous préférez éviter les calculs manuels, vous pouvez utiliser un logiciel de calcul symbolique comme Mathematica ou des solveurs d'équations en ligne pour obtenir la valeur exacte de x.

Assurez-vous de bien connaître les valeurs de a, b, c, d et y pour utiliser l'une de ces méthodes de résolution.