Je ne comprends pas cet exercice sur la récurrence

Bonjour je suis bloquée sur un exercice d’un manuel de maths et même après avoir lu la correction je ne comprends toujours pas: l’exercice ( sur la récurrence
) nous demande de prouver par récurrence que pour tout n dans N, l’entier 8^n -1 est divisible par 7
Initialisation : Pour n = 0 on a 8^n -1 = 8^0 -1 = 0 qui est divisible par 7 on a bien P(0)
Hérédité : Soit k un entier naturel. On suppose P(k), c’est à dire qu’il existe appartenant à Z tel que
8^k -1=7p en multipliant les deux membres par 8 ils en déduit que 8^k+1 -8 = 7x8p et que donc
8^k+1 -1 = 7 x 8p -7 ( je ne comprends pas d’où il sort) soit 7(8p-1) j’arrive a comprendre l’idée générale mais pas en profondeur et je n’arriverai sûrement pas à le refaire

@Mc a dit dans Je ne comprends pas cet exercice sur la récurrence :
Bonjour,

Supposons que la proposition "8^n - 1 est divisible par 7" est vraie pour une certaine valeur k de n, on a alors :

8^k - 1 = 7n (avec n dans N)
On a alors, en multipliant les 2 membres par 8 :

(8^k - 1)8 = 7n * 8
8^k * 8 - 8 = 56n
8^(k+1) - 8 = 56n
8^(k+1) - 1 - 7 = 56n
8^(k+1) - 1 = 56n + 7
8^(k+1) - 1 = (87)*n + 7
8^(k+1) - 1 = 7 * (8n + 1)
Et donc 8^(k+1) - 1 est divisible par 7

Et donc si la proposition "8^n - 1 est divisible par 7" est vraie pour une certaine valeur k de n, elle est encore vraie pour n = k+1 (1)

Vérifions que "8^n - 1 est divisible par 7" est vraie pour n = 0

En effet : 8^0 - 1 = 7 ... qui est bien divisible par 7

Comme "8^n - 1 est divisible par 7" est vraie pour n = 0, on a par (1) que :

"8^n - 1 est divisible par 7" est vraie pour tout n de N

OK ?

@Black-Jack Merci beaucoup je comprends votre explication mais dans le livre que je possède il est bien marqué-7! Ce que je ne comprends d’ailleurs pas mais
merci ️

@Mc a dit dans Je ne comprends pas cet exercice sur la récurrence :

@Black-Jack Merci beaucoup je comprends votre explication mais dans le livre que je possède il est bien marqué-7! Ce que je ne comprends d’ailleurs pas mais
merci ️

Bonjour,

Ne pas s'inquiéter pour cela.
Il y a un pourcentage énorme de fautes dans la plupart des corrigés.
... et plutôt que de s'entêter à justifier ces erreurs, il vaut mieux essayer de les corriger.

A partir de : 8^(k+1) - 8 = 7x8p

8^(k+1) - 7 - 1 = 7x8p
8^(k+1) - 1 = 7x8p + 7
8^(k+1) - 1 = 7.(8p + 1) ... et pas ce qui est indiqué dans le corrigé.

@Black-Jack merci beaucoup