Problème de résolution d'une reccurence

Bonsoir,
Je travail sur un exercice de reccurence (plutôt-simple) et je me demandais si une opération était "légal".
Je m'explique :
Voilà l'énoncé
Pour n supérieure pas ou égal à 0, 2^n est strictement supérieur à n.
Alors je ne vais pas vous faire toute la rédaction parce que ce n'est pas sa qui me pose problème.
Au stade de l'hérédité on peut ajouté 2^n des deux côtés puis remarquer que n +2^n est supérieur ou égale à n+1 ....
Ce qui m'intéresse moi c'est de savoir si on peut démontrer l'hérédité en multipliant des deux côtés par 2:
Ce qui nous donne
2^n*2 strictement supérieur à 2n
Or 2n est supérieur ou égal à n+1 pour tout n supérieur ou égal à 1.
Ma question est donc puisque on a fait l'initialisation au rang 0 ( que je ne l'ai pas fait ici pudiqu'elle n'est pas utile pour comprendre ce que je dis) peut on juste démonter l'initialisation à partir du rang 1 ?
Si oui alors on peut utiliser le produit par 2 sinon il fallait obligatoirement utiliser la somme.

Je ne sais pas si j'ai été très clair en tous cas j'ai fait du mieux que j'ai pu et remerci d'avance l'âme charitable qui prendra le temps de me répondre.```
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@André-mathis
Après réflexion il faut peut être aussi faire une autre initialisation au rang 1 ce qui nous permet de poursuivre le raisonnement de façon logique. Je crois que j'ai ainsi répondu à la propre question. Mais si ce que j'avance est vrai c'est il pas bizarre de faire 2 initialisations ?

Bonjour,

Tu peux faire l'initialisation au rang 1 et poursuivre l'hérédité en multipliant par 2 les deux cotés.

Cela te permettra de conclure que 2^n > n pour tout n de N* (1)

Il suffit alors de compléter par une vérification de la proposition pour n = 0
2^0 > 0 ... donc (2^n > n) est vrai pour n = 0 (2)

et en groupant (1) et (2) ---> 2^n > n pour tout n de N