Resistance d'un cube

Salut les gars et les filles. Pour mon premier post, je propose un petit exercice paru, il y bien longtemps, sur un autre site qui, malheureusement, n'existe plus.
Les arêtes d'un cube sont des résistances de 1 ohm. Quelle est a résistance équivalente entre deux sommets opposés?

Bonjour,

$56Ω\frac{5}{6} \Omega$

@Black-Jack, bravo, c'est la bonne réponse, mais ce petit exercice n'était qu'une mise en train.
Voici maintenant le vrai problème: même question mais pour un hyper cube à n dimensions!

@Black-Jack, Difficile d'évoluer dans un espace à n dimensions. Mais les physiciens eux, sont tout à fait à l'aise dans l'espace-temps à quatre dimensions. Peux-tu au moins résoudre le problème pour un hyper cube à 4 dimensions?

@adaniel Bonjour,

Une réponse : $∑k=0n−11(nk)(n−k)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\binom{n}{k}(n-k)}$

@Noemi bonsoir!
Félicitations, ta formule est correcte, mais compliquée. Pourrais-tu simplifier en te débarrassant des factorielles?

@adaniel

Sans factorielle, cela donne :
$∑k=0n−1(1×2×....×k)n(n−1)×...×(n−k)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(1\times2\times .... \times k)}{n(n-1)\times ... \times(n-k)}$

Comme tu l'indiques cette expression contient toujours des factorielles car il faudrait écrire :
$∑k=0n−1k!n(n−1)×...×(n−k)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{k!}{n(n-1)\times ... \times(n-k)}$

@Noemi bonsoir!

Non, les factorielles sont toujours là, simplement explicitées. Essaye de prouver l'équivalence de ta formule avec:

[somme de 1 à n: (2^k) / k)] / 2^n

Cette formule est aussi beaucoup plus simple à programmer sur un logiciel de calcul (Matlab par exemple).

Je regrette, mais je ne parle pas (pas encore) Latex.

Une dernière question: quelle est la limite lorsque n tend vers l'infini?

@Noemi a dit dans Resistance d'un cube :

@adaniel

Sans factorielle, cela donne :
$∑k=0n−1(1×2×....×k)n(n−1)×...×(n−k)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(1\times2\times .... \times k)}{n(n-1)\times ... \times(n-k)}$

Bonjour,

Attention, tu as traduit k! par 1 X 2 X ... X k

Mais quid alors si k = 0 ?
0! = 1 mais 1 X 2 X ... X k = ?

Pour moi, ta 1ère réponse est OK ... mais pas la 2ème.

@adaniel Bonjour,

Un lien qui explique l'équivalence : https://arxiv.org/pdf/0904.1757.pdf

@Noemi chapeau! Moi qui croyait être le premier à attaquer le problème de l'hyper cube! Moi aussi je suis arrivé
à la solution à l'aide de la fonction génératrice que je connaissais sous le nom de "Z-transform" (littérature anglo-saxonne).
J'ai une question sur la série de Fibonacci que je posterai prochainement.