Limites de suite et comportement

Bonjour à tous,

j'effectue un exercice dont la correction figure dans l'ouvrage.
Je n'ai pas fait comme le stipule la correction. Je vous écris mon travail. Pourriez-vous m'indiquer si cela répond à la question ?
Puis je vous écrirai la réponse de l'ouvrage, mais je ne comprends pas la méthode préconisée. Pourriez-vous m'aider à la comprendre svp ?

Enoncé :

Soit la suite $t_n)$ définie pour tout entier naturel non nul par : $tn=5n−103t_n=\frac{5n-10}{3}$ .

Soit A un réel.
a) Montrer qu'il existe un entier naturel N tel que $tN≥A.t_N\geq A.$
b)Prouver que, pour tout $n≥N,tn≥A.n\geq N, t_n\geq A.$
2.En déduire le comportement de la suite $t_n)$ quand n tend vers $+∞+\infty$

Mon travail :

a) $t_n)$ peut s'écrire $tn=53n−103t_n=\frac{5}{3}n-\frac{10}{3}$ .
On reconnait la fonction $=\frac{5}{3}x-\frac{10}{3}$ qui est une fonction affine dont le coefficient directeur est positif et l'ordonnée à l'origine valant $−103-\frac{10}{3}$ .
Donc pour $N = 0$ on a $tN≥−103t_N\geq-\frac{10}{3}$ .

b. Comme la suite $t_n)$ suit la fonction $f (x)$ croissante, alors pour tout $n≥Nn\geq N$ , on a
$tn≥At_n\geq A$ .

Comme la suite $t_n)$ suit la fonction $f (x)$ croissante, alors $t_n)$ tend vers $+∞+\infty$

La correction du livre :

1a) $⇔n≥3A+105t_n\geq A\Leftrightarrow\frac{5n-10}{3}\geq A\ \Leftrightarrow\ 5n-10\geq3A\ \Leftrightarrow n\geq\frac{3A+10}{5}$ . (Donc l'énoncé on demande de montrer qu'il existe un entier naturel N tel que $tN≥At_N\geq A$ mais au début de la correction il est écrit $tn≥At_n\geq A$ ...est-ce une erreur d'écriture ? Si oui alors je comprends ce début).

Soit E la partie entière du réel $3A+105\frac{3A+10}{5}$ . (je comprends).

Alors, si on pose N=E+1, on a $N≥3A+105N\geq\frac{3A+10}{5}$ (je comprends encore) et donc $tN≥At_N\geq A$ (et là, catastrophe, je ne comprends plus..sans doute qqch de très simple mais ..je ne vois pas ).

1b).D'apres question précédente, pour tout $n≥N≥3A+105n\geq N\geq\frac{3A+10}{5}$ , on a $tn≥A.t_n \geq A.$ (et là encore je ne comprends pas)

d'après question précédente, on peut conclure que $t_n)$ diverge vers $+∞+\infty$ .
Là je ne comprends pas non plus.. il me semblait que quand on a une suite $u_n)$ et qu'on montre que $un≥Au_n\geq A$ alors cette suite est minorée par A et non pas quelle diverge ? Bref je dois m'emmeler les pinceaux

Pourriez vous me dire si mon travail était acceptable et quoiqu'il en soit m'expliquer cette correction que je ne comprends pas dans sa totalité?
Je vous remercie d'ores et déja pour le temps que vous consacrerez à cette aide
En tout cas, j'aurai au moins commencé à dompter le langage Latex ... Il faut bien positiver

Bonjour,

Je n'ai pas tout lu.

Ta démo n'est pas pas correcte, ou du moins incomplète.

Tu conclus par : "Comme la suite (tn) suit la fonction f(x) croissante, alors (tn) tend vers +oo"

Le hic est qu'une fonction croissante ne tend pas obligatoirement vers + l'infini.

Par exemple , f(x) = 1 - e^(-x) est croissante sur R ... mais $f(x)=1lim_{x\to +\infty}\ f(x) = 1$

Dans ta démo, il manque au minimum de montrer que la limite de f(x) pour x--> +oo est égale à +oo

Merci @Black-Jack pour ta réponse ...
J'avais spécifié que f(x) était une fonction affine de coefficient directeur positif. J'aurais dû spécifier que par conséquent la fonction avait pour limite + l'inifin en + l'infini c'est vrai