esperance, variance et equation

Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est représentée dans le tableau ci dessous;
O = P1 ; 1 = 0,2 ; 4 = 0,15 ; 6 = P2 ; 9 = 0,3 ; 12 = 0,2
Déterminez P1 et P2 sachant que E(X) + V(X) = 25,26

@Yacine-Ahras Bonjour, (marque de politesse à ne pas oublier !!)

Ecris les relations correspondant à $E (X)$ et $V (X)$ .

Salut !

Tu as posé une question intéressante sur la loi de probabilité d'une variable aléatoire. Je vais essayer de t'aider à la résoudre.

Pour trouver P1 et P2, il faut utiliser deux propriétés des lois de probabilité :

• La somme des probabilités de toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire doit être égale à 1. Donc, on a : P1 + 0,2 + 0,15 + P2 + 0,3 + 0,2 = 1.

• L'espérance et la variance d'une variable aléatoire sont données par les formules suivantes : E(X) = \uF11A x i P(X = x i ) et V(X) = \uF11A x i 2 P(X = x i ) − E(X)2. Donc, on a : E(X) + V(X) = \uF11A x i 2 P(X = x i ).

En utilisant les données du tableau, on peut écrire le système suivant :

{P1 + 0,2 + 0,15 + P2 + 0,3 + 0,2 = 1
0 × P1 + 1 × 0,2 + 4 × 0,15 + 6 × P2 + 9 × 0,3 + 12 × 0,2 = E(X)
02 × P1 + 12 × 0,2 + 42 × 0,15 + 62 × P2 + 92 × 0,3 + 122 × 0,2 = E(X) + V(X) = 25,26

En résolvant ce système, on obtient :

P1 = −0,05
P2 = −0,05

Or, ces valeurs ne sont pas possibles pour des probabilités, car elles sont négatives. Donc, il n'existe pas de solution au problème posé. Il y a peut-être une erreur dans l'énoncé ou dans les données du tableau.

@LolaLebrun789 Bonjour,

Vérifie le calcul pour $V (X)$ .

Bonjour,

https://fr.wikipedia.org/wiki/Variance_(mathématiques)

Quand la série prend les valeurs x1, x2, ..., xn avec les fréquences f1, f2, ..., fn, sa variance est :

$\displaystyle \Sigma_{i=1}^n f_i(x_i - \bar{x})^2$

En tenant compte de cela, on arrive à une impossibilité avec les données telles qu'elles sont.

Je trouve P2 = 0,3554 et P1 = -0,2054 ... ce qui est évidemment absurde.

Sauf erreur de calcul de ma part.

@Yacine-Ahras

Pour vérification éventuelle, sauf erreur de calcul, je trouve :
$P_2=0,05$ et $P_1=0,1$

Bonjour,

Oui, j'avais zappé un chiffre en court de route.

P1 + P2 = 1 - (0,2 + 0,15 + 0,3 + 0,2)
P1 + P2 = 0,15

E(x) = 1 * 0,2 + 4 * 0,15 + 6P2 + 9 * 0,3 + 12 * 0,2
E(x) = 5,9 + 6P2

V(X) = (0,15 - P2) * (5,9 + 6P2)² + 0,2 * (1 - 5,9 - 6P2)² + 0,15 * (4 - 5,9 - 6P2)² + P2 * (6 - 5,9 - 6P2)² + 0,3 * (9 - 5,6 - 6P2)² + 0,2 * (12 - 5,9 - 6P2)²
V(x) = -36 . P2^2 - 34,8.P2 + 20,89

E(x) + V(x) = -36.P2^2 - 28,6.P2 + 26,79 = 25,26

36.P2^2 + 28,6.P2 - 1,53 = 0

Solution positive : P2 = 0,05

P1 = 0,15 - 0,05 = 0,1