Bonjour j'ai de doutes concernant un exercice. Je veuillez bien m'aider
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Mariam 0 dernière édition par
Soit a, b, et c trois entiers relatifs impairs.
Montrer qué l'équation ax^2+bx+c=0 na pas de solutions rationnelles
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@Mariam-0 Bonjour,
Fais un raisonnement par l'absurde en utilisant les relations de la somme et du produit des deux racines.
On suppose qu'il existe une solution x1=pqx_1= \dfrac{p}{q}x1=qp avec ppp et qqq tel que pgcd(p,q)=1pgcd(p,q)=1pgcd(p,q)=1
Pour la somme des racines
x1+x2=−bax_1+x_2= -\dfrac{b}{a}x1+x2=−ab soit : x2=....x_2= ....x2=....
Pour le produit des racines
x1×x2=pq×x2=ca=....x_1\times x_2= \dfrac{p}{q}\times x_2 = \dfrac{c}{a}= ....x1×x2=qp×x2=ac=....Je te laisse poursuivre, indique tes calculs et ou résultats si tu souhaites une vérification.
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BBlack-Jack dernière édition par
Bonjour,
Alternative .
Si p/q est une solution (p et q premiers entre eux)
On a a.p²/q² + b.p/q + c = 0
ap² + bpq + cq² = 0 (1)
Avec a, b et c impairs : ap² a la parité de p, bpq a la parité de p*q , cq² a la parité de q ... et on a aussi 0 pair. (2)
p et q ne peuvent pas être pairs tous les 2 (sinon p et q ne sont pas premiers entre eux.)
Il reste donc 3 cas à étudier :
1°) p pair et q impair, on a alors pour (1) en tenant compte de (2) : pair + pair + impair = pair (ce qui est faux)
2°) p impair et q pair, on a alors pour (1) en tenant compte de (2) : impair + pair + pair = pair (ce qui est faux)
3°) p impair et q impair, on a alors pour (1) en tenant compte de (2) : impair + impair + impair = pair (ce qui est faux)Donc si p/q est une solution (p et q premiers entre eux), on arrive toujours a un défaut de parité de (1)
Par conséquent, si a, b et c sont impairs, il n'y a pas de solution rationnelle à l'équation ax² + bx + c = 0
