A la dérive ....

[RyoJin.s]

Bonjour à tous,

En vous souhaitant plein de bonne choses en ce 1er Mai ...

Alors voici le problème qui m'empêche d'être serein ce jour ...

Un cône est dit de révolution lorsque sa hauteur [SO] est perpendiculaire en O et de rayon [OA]. Le segment [SA] est appelé génératrice du cône.
La longeur l de la génératrice etant fixée, démontrer que le volume maximal de ce cône est :

V= $(2$pi$l^3$ $sqrt$3 ) / 27

(On posera x= OS)

Alors ,

Le volume d'un cône est définit par 1/3 . $pi$ . R² . H

Ici OS=H=x on remplace donc h par x .

Comme l étant fixé on peut ecrire que l²= R² + x²
Soit R²= l² - x²

On remplace tout cela dans notre bonne vieille formule du volume, donc

V(x)= 1/3. $pi$ . (l²-x²)x

ou encore ($pi$l²x - $$pi$x^3$ ) / 3

Et voilà après je tourne et retourne pour passer cette fonction en fonction dérivée , je m'en remets donc à vous pour me guider dans ma quête du maximum...

D'avance merci .... :rolling_eyes:

[Zorro]

Bonjour,

et quand tu étudies une fonction qu'est ce qui te permet de déterminer si elle a un maximum ou un minimum (quelle cours fais-tu en ce moment ? ...... généralement la réponse à cette question permet de trouver une piste pour essayer de répondre ...)

[RyoJin.s]

Alors cette exercice fait partie d'un cour sur les notions de limite et de dérivation 1er S , et je suis bien loin de mes années lycée ...
Voulant l'année prochaine reprendre des cours je me fais une mise à niveau à la maison cette fin d'annéé ... Me voila donc parmis vous, en espérant ne pas déranger ... A ta question, je dirais sa limite !!?

[Zorro]

Non C'est la dérivée qui permet de répondre

si la dérivée passe de >0 à <0 en a
alors la fonction passe de croissance à décroissance en a
donc la fonction admet un maximum pour x = a

si la dérivée passe de <0 à >0 en a
alors la fonction passe de décroissance à croissance en a
donc la fonction admet un minimum pour x = a

[RyoJin.s]

Alors voilà , j'ai enfin trouver et viens faire mon topo ...

Pour la fonction dérivée de V'(x)= $pi$l^2 - 3$pi$x^2

Qui nous donne deux solutions de x soit , (l $sqrt$12)/6 ou (-l $sqrt$12)/6 pout V'(x)=0

Avec un tableau de variation , que je ne peux faire ici , on peut voir que (l $sqrt$12)/6 est le maximum local ...

Et pour finir V(l $sqrt$12/6)=(2$pi$l^3 $sqrt$3) / 27

Le maximum est du fait démontrer si je ne me trompe ...

D'apres vous ?