Dm maths sur trois chap

Bonjour est-ce que quelqu’un pourrait m’aider :

Le but de cet exercice est de montrer que la fonction exponentielle n'est pas une fonction
polynôme. Pour cela, raisonnons par l'absurde.
Supposons qu'il existe une fonction polynôme P (nécessairement non nulle), telle que,
pour tout réel x, on a P(x|=exp(x|=e^2

a) Supposons que P soit de degré 3, c'est-à-dire de la forme :x_>a+bx+cx3+dx^3, avec d non nul.
Calculer les quatre premières dérivées successives de P.
b) En déduire qu'il est impossible que, pour tout x réel, exp|×= P(x).
Que peut-on en déduire sur le degré de P?
Généraliser ce raisonnement à une fonction polynôme de degré n quelconque et conclure

Bonsoir,
Je suis moi-même en classe de terminale mais j'ai une idée à te suggérer (elle est donc à prendre avec des pincettes ainsi que la rédaction).
La question 1 easy tu applique bêtement ce qui est demandé et tu obtiens que P'''(x) = 6d qui est une constante. Le degré de P'''(x) est 0. Or [exp(x)]''' = exp (x) qui n'est pas une constante. Donc P(x) ne peut pas être égal à exp (x) sinon il aurait la même dérivé-troisième ce qui n'est pas le cas.

La question 2 est aussi très simple. On se rend compte que si l'on considère E(x) un polynôme de degré n alors sa dérivé-nième est constante elle vaut d'ailleurs le coefficient dominent (le nombre devant x^n) multiplié par n! (factorielle de n). Or la dérivé nième de exp(x) = exp(x).
On aurait donc que exp(x) est une constante ce qui absurde.
Voilà comment je l'aurais résolu.
Bonne soirée.

Je viens de me rendre compte qu'il est dit qu'il faut dérivé 4 fois et non 3 ce qui donne P''''(x) = 0 or on sait que [exp(x)]''''=exp(x) et que exp(x) est strictement positif. Ce qui est absurde.
Et lorsque l'on dérive (n+1)-fois un polynôme de degré n on obtient 0, on conclut de la même manière. En gros c'est comme ce que j'ai dit précédemment mais tu dérive une fois de plus (sa devrait pas être trop difficile).

Et quant à la question que peut on déduire du degré de P je t'avoue que je ne vois pas trop mais si tu parle de la dérivé 4ieme du polynôme de degré 3 alors celle ci est de - l'infini (par convention).

Ou alors on peut déduire que le degré de P(x) n'est pas le degré de la fonctions exponentielle (supposé qu'elle en ai une). Et par une récurrence on démontre qu'aucun polynôme de degré entier (positif) n'est égal à exp(x). Je t'avoue je vois pas trop.

@André-mathis

J’ai ft sa c bon mais la suite je n’arrive ps

@hiba_mrcnn , bonjour,

Dans ton énoncé, je pense que tu as voulu écrire
$P(x)=exp(x)=e^x$

Je te conseille de commencer par consulter l'aide de @André-mathis .

Tes calculs pour le 1)a) sont exacts.

1)b) Tu supposes que pour tout $x$ réel $e x p (x) = P (x)$ et tu dois trouver que c'est impossible.

En effet, la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même.
$e x p^{'} (x) = e x p (x)$ .
En dérivant quatre fois, tu arrives à $exp^{(4)}(x)=exp(x)$

Ainsi : Si $e x p (x) = P (x)$ , alors $exp^{(4)}(x)=P^{(4)}(x)$ c'est à dire $e x p (x) = 0$
Cela est impossible car pour tout $x$ réel, $exp(x)>0exp(x)\gt 0$

Conséquence : le polynôme $P$ ne peut pas être de degré 3

Essaie de faire la généralisation demandée en question 2.

@mtschoon

D’accord mercii bcp mais je n’ai pas compris et trouver pour la question 2

@hiba_mrcnn ,

La question 2 est la généralisation à tout polynôme.
C'est exactement le même raisonnement que pour la question 1)b).

Pour un polynôme de degré n, la dérivée (n+1)ème est nulle : $P^{n+1}(x)=0$
Pour la fonction exp, la dérivée (n+1)ème est toujours exp : $exp^{(n+1})(x)=exp(x)$

Si $e x p (x) = P (x)$ , alors : $exp^{(n+1})(x)=P^{n+1}(x)$ c'est à dire $e x p (x) = 0$
Impossibilité pour la même raison qu'à la question précédente.

Tu pourras conclure que la fonction exponentielle n'est égale à aucune fonction polynôme.

Revois tout ça de près.

@mtschoon

Bonjour c correct la ?

La fonction exponentielle n'est pas une fonction
polynôme.
Pour le démontrer, supposons par l'absurde qu'il existe une fonction polynôme P telle que, pour tout réel x, on a P(x) = exp(x).
a) Si P est de degré 3, on peut l'écrire sous la forme suivante:
P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
avec d non nul.
Calculons les quatre premières dérivées
successives de P:
P'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
P"(x) = 6ax + 2b
P"(x) = 6a
P''' (x) = 0
b) On sait que la dérivée nième de la fonction exponentielle exp(x) est égale à exp(x). Par conséquent, on a les égalités suivantes :
P'(x) = exp(x)
P"(x) = exp'(x) = exp(x)
P'(x) = exp"(x) = exp(x)
P''*(x) = exp(x) = exp (x)
Or, on a également vu que P''' (x) = 0. Cela signifie que la dérivée quatrième de P est nulle, alors que la dérivée quatrième de exp(x) est
toujours non nulle. Il existe donc une
contradiction, et il est impossible que P(x) = exp(x) pour tout réel x.
On peut en déduire que P est de degré supérieur à 3.
Généralisons ce raisonnement à une fonction
polynôme P de degré n quelconque.
Supposons que P(x) = exp(x) pour tout réel x.
Alors, on a les égalités suivantes :
P'(x) = exp(x)
P"(x) = exp'(x) = exp(x)
P^(n-1) (x) = exp^(n-1)(x) = exp(x)
P^(n)(×) = exp^(n)(x)
Or, on sait que la dérivée nième de la fonction exponentielle exp(x) est égale à exp(x). Cela
signifie que P^(n) (x) = exp(x).
Mais P est de degré n, ce qui signifie que P^ (n)
(x) = 0. On a donc une contradiction, et il est
impossible que P(x) = exp(x) pour tout réel x.
Conclusion : La fonction exponentielle n'est pas
une fonction polynôme.

@hiba_mrcnn Non c'est la dérivé (n+1)-ème d'un polynôme de degré n qui est nul. La dérivé n-ième est simplement une constante.

Bonjour,

@hiba_mrcnn , tu as eu je pense assez d'indications sur la démarche de ton exercice.
A toi de bien comprendre cette démarche
C'est à toi de la rédiger, mais n'essaie pas de rédiger sans avoir vraiment compris.

Si besoin, je te rappelle ce qu'est le degré d'un polynôme.
C'est un élément de $N$ .
Pour $n = 0$ , $P$ est une fonction constante
Pour $n = 1$ , $P$ est une fonction affine
Pour $n = 2$ , $P$ est une fonction polynôme du seconde degré,
etc.

La question 1 est l'étude du cas particulier où $P$ est de degré 3, pour faire comprendre la démarche
Ce que l'on peut déduire, de cette étude pour $n = 3$ (sur le degré de $P$ ), est que $P$ ne peut pas être de degré 3. C'est tout.

La question 2 est l'étude, avec la démarche vue à la question 1, du cas général, c'est à dire où $P$ est un polynôme de degré $n$ , avec $n∈Nn\in N$

Revois cet exercice de près.

Bon travail.