plus petit entier 8 diviseurs

[Marvin]

Bonjour je pense avoir résolu cet exercice(j'ai pas trop écrit pardon, mais moi et latex on n'est pas encore ami...)
Je ne suis pas satisfait de mon raisonnement, auriez vous des choses à y ajouter svp?
On cherche le plus petit entier naturel n possédant 8 diviseurs.

1. Montrer qu'il existe trois configurations pour un entier de posséder 8 diviseurs.
2. Tester ces trois configurations et en déduire la solution du problème.

Alors voici les nombres que j'ai pu trouver : 54; 24; 128
Les trois configurations testées (128, 54 et 24) répondent à la condition de posséder exactement 8 diviseurs..
54 s'écrit sous la forme p3*q car c'est (3^3)*2, 24 c'est (2^3)3 donc q3p et 128 c'est p^7 donc 2^7.
ça j'ai compris, et je sais que c'est 24 la réponse du 2) cependant je trouve ce raisonnement "à tâtons" , auriez vous un raisonnement plus mathématiques svp ? Heureusement qu'il n'y a que 3 nombres.

[Noemi]

@Marvin Bonjour,

Il faut appliquer la propriété :
Si $n=a^p\times b^q\times c^r$, le nombre de diviseur de $n$ est $(p+1)(q+1)(r+1)$