Problème de dénombrement à type de rangement

Bonjour à tous,

voici mon problème :

Enoncé

On dispose de 3 tiroirs pour ranger 5 pulls différents. Chaque tiroir peut contenir jusqu'à 5 pulls.

a. de combien de façon peut-on réaliser le rangement ?
b. combien y a t il re rangements possibles pour lesquels aucun tiroir n'est vide ?

J'ai tenté de résoudre ce problème dont la correction est disponible en vidéo.
Après avoir cherché, j'ai souhaité vérifier avec la corection pour m'apercevoir que je m'étais trompé.
Je souhaiterais que vous puissiez m'expliquer en quoi mon raisonnement était faux

Mon raisonnement

J'ai commencé par imaginer le nombre de pulls qu'on pouvait mettre dans un tiroir (soit 0 pull, soit toutes les possibilité d'avoir un pull, 2 pulls, 3 pulls, 4 pulls et 5 pulls donc 2^5=32 possibilités).
Puis j'ai calculé la permutation de 3 tiroirs soit 3! = 6.
J'ai ensuite appliqué le principe multiplicatif soit 32x6= 192 et non pas 243...
Où se trouve ma coquille ?
Merci par avance pour votre aide

Bonjour,

Avec T1, T2 et T3 les 3 tiroirs

T1 T2 T3 : nombre de possibilités.
5  0  0       1
4  1  0       5
4  0  1       5
3  2  0      10
3  0  2      10
3  1  1      20
2  3  0      10
2  0  3      10
2  2  1      30
2  1  2      30
1  4  0       5
1  0  4       5
1  3  1      20
1  1  3      20
1  2  2      30
0  5  0       1
0  0  5       1
0  4  1       5
0  1  4       5
0  3  2      10
0  2  3      10
----------------
      total:243

Bonjour @Black-Jack,

merci à nouveau pour ta réponse mais comme je l'avais dit dans mon post, j'avais la correction en vidéo que j'ai comprise... Mais je voulais juste savoir, où, dans mon raisonnement (que j'ai donné dans mon post) j'avais commis une faute ? (on apprend aussi de ses erreurs )

Le bug est que les calculs que tu fais ne permettent en rien de répondre à la question.

Par exemple, tu écris :

"Le nombre de pulls qu'on pouvait mettre dans un tiroir (soit 0 pull, soit toutes les possibilité d'avoir un pull, 2 pulls, 3 pulls, 4 pulls et 5 pulls donc 2^5=32 possibilités)."

Ou vas-tu chercher que cela correspond à 2^5 = 32 possibilités ?

Pour te convaincre que c'est faux, il te suffit d'essayer de décrire chacune de ces 32 possibilités (ce n'est pas démentiel, ce n'est que 32 cas différents).

Comme tu vas te casser le nez pour détailler ces 32 possibilités, tu comprendras que cela ne rime à rien.

Essaie.

Bonjour @Black-Jack,

dans le cadre de mon programme de progression en mathématiques je vais chercher des cours à droite et à gauche notamment sur jaicompris.com.
Voici la vidéo sur laquelle je me suis appuyé en pensant que c'"tait opportun (et qui explique d'où viennent ces fameux $2^n$
https://www.youtube.com/watch?v=n-K61k0RxxM à partir de 4min06 jusqu'à 7min18 où on voit apparaitre la fameuse formule que j'ai utilisée...

Je sais bien que ce n'était pas à faire (puisque la vidéo de correction m'a montré comment j'aurais dû faire) mais je souhaiterais savoir pourquoi je n'avais pas le droit de raisonner comme je l'ai fait en me basant sur le cours évoqué

Bonjour à tous,

@Chris21300 , je n'ai pas regardé la ( les ) vidéo(s) dont tu parles...donc j'ignore les explications données.
Je te donne la mienne.

Ta démarche est fausse.
Elle correspond en rien à la question posée, car elle ne respecte pas la démarche demandée, c'est tout.

Il faut faire la démarche demandée qui consiste mettre 5 pulls dans 3 tiroirs
Si tu raisonnes logiquement, tu trouveras $35\boxed{3^5}$ éventualités, ce qui fait bien 243.

Détails :
Soit $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ les pulls et $T_1,T_2,T_3$ les tiroirs.

$p_1$ peut être mis dans un des 3 tiroirs : 3 possibilités
Lorsque $p_1$ est placé, $p_2$ peut être mis dans un des 3 tiroirs : 3 possibilités
Lorsque $p_1$ et $p_2$ sont placés, $p_3$ peut être mis dans un des 3 tiroirs : 3 possibilités
Lorsque $p_1$ , $p_2$ et $p_3$ sont placés, $p_4$ peut être mis dans un des 3 tiroirs : 3 possibilités
Lorsque $p_1$ , $p_2$ , $p_3$ et $p_4$ sont placés, $p_5$ peut être mis dans un des 3 tiroirs : 3 possibilités

Bilan $3×3×3×3×3=353\times 3\times 3\times 3\times 3=\boxed{3^5}$

Tu peux t'entraîner à faire un arbre de choix. C'est très commode pour comprendre.
Evidemment, l'arbre sera très important ici (243 branches)
Je te mets un lien pour savoir faire un arbre de choix.
https://irem.univ-grenoble-alpes.fr/medias/fichier/1n1_1563441026898-pdf

Bonnes réflexions.

merci beaucoup @mtschoon pour le temps que tu m'as consacré ...
cependant, grâce à la vidéo de correction j'avais compris comment résoudre le problème ...
Mais ma demande ici était de m'expliquer, au regard de la vidéo de cours que j'ai donnée et sur laquelle j'ai basé ma réflexion; en quoi je ne devais pas utiliser cette méthode, en quoi elle ne s'appliquait pas à cet exercice

Donc si qqn veut bien regarder ces qqs minutes de vidéos (j'ai donné la fourchette de temps sur laquelle est la définition du cardinales des parties d'un ensemble) et m'expliquer ensuite pourquoi mon raisonnement n'était pas bon je serais fort content

@Chris21300

Bonjour,

Tentative d'explication.

Pour 1 seul tiroir; tu peux avoir 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 pulls dedans, comme tous les pulls sont différents, il y a 2^5 possibilités de contenants différents possibles dans 1 tiroir.

MAIS, cela ne tient pas compte des probabilités d'avoir ces différents contenants.

Exemple :
a) Un des "contenants" possibles du tiroir est : 1 pull vert seul.
b) Un autre "contenant" possible du tiroir est d'avoir 1le tiroir vide.
Etc...

Mais, la probabilité d'être dans le cas noté (a) n'est pas la même que la probabilité d'être dans le cas (b)

La proba d'être dans le cas a est P(a) = (1/3) * (2*3)^4 * 3 = 16/81
La proba d'être dans le cas b est P(b) = (2/3)^5 = 32/243

Et des proba différentes d'avoir chacun des contenants possibles.

Dit autrement, tous les cas de contenants possibles ne sont pas équiprobables.

Et ta démarche ne prend pas en compte cet aspect des choses(proba différentes pour les différentes possibilités).

Ta démarche ne peux donc pas aboutir à la bonne réponse.
''''''''''''''''''''''''''
Autre exemple (qui n'a rien à voir avec le problème posé) juste pour faire mieux comprendre le type d'erreur faite ici.

On lance un dé à 6 facs équilibré et on prend en compte 2 issues.
a) on gagne si le résultat du lancé est 1
b) on perd si le résultat du lancé est différent de 1
Quelle est la proba de gagner au jeu ?

Le raisonnement faux serait le suivant :

Il n'y a que 2 cas possibles (c'est 1 ou c'est différent de 1) ... et donc la proba de gagner est 1/2

C'est évidemment faux, car les 2 cas (= 1 ou différent de 1) ne sont pas équiprobables ... pour trouver la bonne solution, il FAUT tenir compte des probabilités différentes des 2 cas.

C'est ici évident ...
C'est le même type d'erreur que tu fais par ton raisonnement
avec les pulls dans les tiroirs.

Bonsoir @Black-Jack et un grand merci tardif pour ta réponse ... Mes obligations parentales ont fait que j'ai dû mettre ma dynamique mathématique de côté quelques jours ...
j'a bien compris ton explication et je t'en remercie à nouveau ...
Dans ce domaine du dénombrement j'ai énormément de difficultés à savoir quel outil utiliser ..

J'ai bien compris que quand on est face à des tirages successifs avec remise utilise le k uplet
(permutation si tirage de l'ensemble des éléments);
on utilisera l'arrangement si tirage successif sans remise
combinaison si tirages simultanés...

Mais parfois (souvent) j'ai bien du mal, au regard de l'énoncé, à savoir dans quelle situation on se trouve ...

Auriez-vous des conseils à me prodiguer afin de pouvoir m'orienter dans ces choix ?