dm sur les suites géométriques

Bonjour, j'ai un dm à rendre et j'ai un problème dans la partie3). Merci de bien vouloir m'aider
dans la partie la partie1nous devions répondre d'après un graphique.
dans la partie 2)
U(n+1)= 0.6U(n)+8 et U(0)=161
a)calculer U(4),
dans la partie 1) on nous donnait un tableau avec U(0)=161; U(1)=104.6; U(2)=70.76 et U(3))=50.456
donc U(4)=0.6U(3)+8=0.650.456=38.2736.

b) soit (Vn)définie pour tout n appartenant à N par V(n)=U(n)-20.
Montrer que (Vn) est géométrique de raison 0.6.
V(n))=U(n)-20
alors V(n+1)=U(n+1)-20
=0.6U(n)+8-20
=0.6U(n)-12
=0.6(U(n)-12/0.6)
=0.6(U(n) -20)
V(n+1)=0.6V(n)
donc (Vn) est bien géométrique de raison q=0.6 et de premier terme V(0)=U(0)-20=141

c) donner l'expression de V(n) en fonction den, puis l'expression de U(n) en fonction de n
V(n)=141*0.6^n
On a V(n)=U(n)-20
alors U(n)=V(n)+20
U(n)=141*0.6^n+20

d) déterminer le sens de variation de V(n)
V(n+1)-V(n)=1410.6^(n+1)-1410.6n
=1410.6^n0.6^1-1410.6^n
=1410.6^n(0.6-1)
=1410.6^n(-0.4)
=-56.4*0.6^n<0 alors V(n+1)-V(n)<0
donc V(n+1)<V(n)
donc (Vn) est décroissante.

e) en déduire celui de (Un)
on sait que (Vn)) est décroissante donc (Un) est également décroissante

f) exprimer S(n)=U(0)+U(1)+.......+U(n) en fonction de n
S(n) =U(0)* [(1-q^n)/(1-q)]
=161*[(1-0.6^n)/(1-0.6)]
=161*[(1-0.6^n)/0.4]
=64.4(1-0.6^n)
Partie c)
le premier janvier 2018, la population d'une grande ville était de 161 milliers habitants. Depuis2018, chaque année, deux habitants sur cinq s'en vont et huit mille arrivants s'installent.
1) le premier janvier 2024, combien y aura-t-il d'habitants?
2) quelle sera l'évolution de la population si la situation se maintient à l'avenir?
3)Chaque année, la mairie offre une carte de vœux à chaque habitant. Elle avait un stock de 1 million de cartes le premier janvier 2018, en quelle année l'aura t-elle écoulé?

je bloque complètement , je trouve 161-(2/5)U(n)+8=1610.4U(n)+8 je pense que ce n'est pas ça. J'ai besoin d'aide. Merci d'avance**

@cap2022 a dit dans dm sur les suites géométriques :

U(n+1)= 0.6U(n)+8 et U(0)=161

Partie c.

Soit U(0) la population le 1/1/2018
U(0) = 169 (en milliers d'habitants)
(2/5 qui partent --> 3/5 qui restent)
U(n+1) = U(n) * (3/5) + 8
U(n+1) = 0,6.U(n) + 8

Et te voila ramené à la suite étudiée au début.

Calculer U(6) pour avoir la population au 1/1/2024

bonjour Black-jack et merci de m'aider.
j'étais arrivée au même résultat mais je ne comprends l'interêt de me reposer la même question.
par contre comment calculer en quelle année les 1 million de carte de voeux seront distibuées. est ce qu'il fautque je compte bêtement sur la calculatrice où est ce qu'il y a une formule?

@cap2022 Bonsoir,

La réponse à la question f) est à revoir: $U (n) = V (n) + 20$ ,
donc $S (n) = . . . .$

Bonsoir Noemi, merci pour aide
je ne comprends pas ce qu'il faire.
U(n)=141*0.6^n+20 et donc pour S(n) je fais quoi?

@cap2022

$S (n) = U (0) + U (1) + . . . U (n)$
$S (n) = V (0) + 20 + V (1) + 20 + . . . . V (n) + 20 = . . . .$

@Noemi je ne comprends pas ce que tu veux me dire. nous ne sommes pas très avancé dans le cours . je cherche mais je ne vois pas ce qu'il faut faire. merci de m'aider

@cap2022

Poursuis le calcul.

$S (n) = V (0) + 20 + V (1) + 20 + . . . . V (n) + 20 = . . . .$
$S (n) = V (0) + V (1) + . . . . V (n) + 20 (n + 1) = . . . .$
Utilise l'expression de la somme des termes pour la suite géométrique $V (n)$ .

Bonjour Noemi.
je ne comprends ce qu'il faire je connais que la formule de la suite géométrique du cours S= 1er terme *[(1-q^n)/(1-q)]. il faut m'aider svp.

@cap2022

Tu utilises la somme des termes d'une suite géométrique pour calculer :
$V (0) + V (1) + . . . . + V (n)$ calcul que tu as indiqué dans la première réponse.
Tu ajoutes à cette somme : $20 (n + 1)$ .

merci pour ton aide mais je suis toujours aussi perdu. ce n'est pas la somme de Vn mais de Un qu'on me demande.
je ne sais pas du tout ou rajouter ce que tu m'as indiqué. je ne comprends plus rien

@cap2022
Je reprends ce que j'ai indiqué :
$S (n) = U (0) + U (1) + . . . . . + U (n)$
Comme $U (n) = V (n) + 20$ on peut écrire : $U (0) = V (0) + 20$ ; $U (1) = V (1) + 20$ ......
Soit :
$S (n) = V (0) + 20 + V (1) + 20 + . . . . V (n) + 20 = . . . .$
$S (n) = V (0) + V (1) + . . . . V (n) + 20 (n + 1) = . . . .$
Comme la suite $V n$ est une suite géométrique :
$V(0)[\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}]+20(n+1)$

....