congruence et divisibilité par 5

[Darkaz]

Alors voilà
je dois déterminer l'ensemble de solutions telles que 3x ≡ 2(5)
J'en ait déduit x= -1 et x=4 mais je ne sais pas s'il y a d'autres solutions

Ensuite il est demandé de trouver l'ensemble des entiers relatifs x tels que 3(x+1) soit divisible par 5
Je suis bloqué à cette question en me retrouvant avec 3(x+1)=5k
Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

[mtschoon]

@Darkaz , bonjour,

Effectivement, ta réponse est incomplète.

Je te conseille de raisonner par disjonction de cas.
Tu as 5 cas à étudier vu que $x$ peut être congru à 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4, modulo 5

1er cas : $x\equiv 0[5]$
or, $3\equiv 3[5]$
donc $3x\equiv 3\times 0[5]$
$3x\equiv 0[5]$ Ne convient pas.

Tu fais ainsi les quatre autres cas.
Sauf erreur, le seul cas qui convient est $x\equiv 4[5]$

Les solutions de ta première questions seront donc :
$x=5k+4,k\in Z$

La seconde question est la conséquence de la première.

Bons calculs.
Reposte si besoin.

[Darkaz]

@mtschoon merci de ta réponse
En effet je me suis rendu compte que la 1ere question avait 5k+4 pour solution
En revanche pour le 2e question je ne comprends pas quand tu me dis qu'elle est la conséquence de la 1ere
Est-ce que ce serait aussi quand x=5k+4 ?
Ce qui me bloque est l'intitulé "déterminer les entiers relatifs x"

[mtschoon]

@Darkaz ,

Transforme la seconde question :

$(3x+1)$ divisible par 5 <=> $3(x+1)\equiv 0[5]$
c'est à dire :
$3x+3\equiv 0[5]$
c'est à dire
$3x\equiv -3[5]$
c'est à dire
$\boxed{3x\equiv 2[5]}$

La seconde équation est équivalente à la première donc même ensemble de solutions.

[mtschoon]

$@Darkaz a dit dans congruence et divisibilité par 5 :

"déterminer les entiers relatifs x"

Cela veut dire que tu cherche les solutions dans $Z$, ce qui est le cas.

[Darkaz]

@mtschoon d'accord donc je n'étais pas fou lorsque je trouvais le même résultat cela me rassure
Je te remercie

[mtschoon]

@Darkaz ,

Effectivement, tu avais trouvé la bonne conclusion pour la seconde équation. IL ne te manquait que la démonstration.

J'espère que maintenant tout est clair pour toi.

Bon travail !