Existence et calcul de Limite

[Luukao _]

Bonjour , je n’arrive pas à calculer cette limite malgré l’utilisation de la règle de l’hôpital :

$\underset{x\to 0}{\lim }$ $(\pi cotan(\pi \ast x)-1/x)/x$

Merci de votre aide

[Black-Jack]

Bonjour,

(Pi/tan(pi * x) - 1/x)/x = (Pi * x - tan(Pi.x))/(x².tan(Pi.x))

lim(x-->0) [(Pi * x - tan(Pi.x))/(x².tan(Pi.x))] : indétermination 0/0 --> Règle du génial Marquis (Lhospital)

= lim(x-->0) [(Pi - Pi/cos²(Pi.x))/(2x.tan(Pi.x) + Pi.x²/(cos²(Pi/x))]

= lim(x-->0) [-(Pi.sin²(Pi.x))/(x.sin(2Pi.x)+Pi.x²)] : indétermination 0/0 --> Règle du génial Marquis

= lim(x--> 0) [-(2Pi².sin(Pi.x).cos(Pi.x))/(sin(2Pi.x) + 2Pi.x.cos(2Pi.x) + 2Pi.x)]

= lim(x--> 0) [-(Pi².sin(2Pi.x))/(sin(2Pi.x) + 2Pi.x.cos(2Pi.x) + 2Pi.x)] : indétermination 0/0 --> Règle du génial Marquis

= lim(x--> 0) [(-2Pi³.cos(2Pi.x))/(2Pi.cos(2Pi.x)+2Pi.cos(2Pi.x)-4Pi².x.sin(2Pi.x)+2Pi)]

= -2Pi³/(6Pi)

= -Pi²/3

[Noemi]

@Luukao-_ Bonjour,

En utilisant le développement de Taylor, on obtient le même résultat;

$\frac{\pi (1-\frac{{\pi }^2{x}^2}{2})}{x(\pi x-\frac{{\pi }^3{x}^3}{6})}-\frac{1}{x^2}$

$\frac{6-3{\pi }^2{x}^2}{x^2(6-{\pi }^2{x}^2)}-\frac{1}{x^2}$

$-\frac{2{\pi }^2}{6-{\pi }^2{x}^2}$
Donc la limite ....

[Luukao _]

@Noemi merci beaucoup de cette aide.

[Noemi]

@Luukao-_ Bonjour,

une méthode plus rapide si on connait le développement de cotangente.
Le numérateur :
$\pi (\frac{1}{\pi x}-\frac{\pi x}{3})-\frac{1}{x}$=$-\frac{{\pi }^{2}x}{3}$