3. Etude d'une fonction auxiliaire et de la fonction principale

Etude d'une fonction auxiliaire et de la fonction principale

  • C

    Bonsoir, j'ai un dm à rendre a la rentrée, le prof viens juste de nous l'envoyer aujourd'hui. j'ai fait ce que je savais mais il y a des questions que nous n'avons jamais abordé. MERCI DE BIEN VOULOIR M'AIDER

    On considère la fonction f définie sur R-{-1} par f(x)=(x^3-1)/(x+1)² et sa courba C dans un repère orthonormal.

    fonction auxiliaire.
    Soit g la fonction définie sur R par .g(x)=x^3+3x²+2

    1. Déterminer les limites de g en +et en - .l'infini

    2. Dresser le tableau de variation de g.

    3. Montrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution alpha . Déterminer une valeur approchée de alpha à 0,01 près par défaut.

    4. En déduire le signe de g(x) selon les valeurs de x.

    5. On considère la fonction h définie sur IR par :h(x)=g(x) si x>=1
      h(x)=(x²+4x-5)/(x-1) si x<1
      La fonction h est-elle continue sur IR ? Justifiez.

    Partie B : Etude de la fonction principale.

    1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Interpréter graphiquement.
    2. a. Calculer f'(x) et montrer que, pour x différent de –1, .f(x)=g(x)/(x+1)^3
      b. Dresser le tableau de variation de f.
    3. a. Déterminer les réels a, b, c et d tels que, pour x différent de –1, f(x))= ax+b+[(cx+d)/(x+1)²]
      b. Démontrer que la droite delta d’équation y = x-2 est asymptote à C .
      c. Etudier la position relative de delta et C .
    4. Déterminer l’équation de la tangente à C au point d’abscisse -2.

    j'ai fait:
    1)lim g(x)=+l'inf pour + infini
    lim g(x)=- l'inf pour - l'infini
    2) g'(x)=3x²+6x=3x(x+2)

    x I - l'inf -2 0 + l'inf
    g'(x) I + 0 - 0 +
    gx) I / 6 \ 2 /

    1. sur ]- l'inf;-2] la fonction g est continue et strictement croissante
      de plus lim g(x)=- l'inf quand x tend vers - l'inf et g(-2)=6
      or 0 appartient ]-l'inf;6] alors d'après le corollaire du TVI l'équation g(x)=o admet une solution unique sur ]-l'inf;-2] telle que g(alpha)=0.
      sur [-2;0] et [0; + l'inf[ l'équation g(x)=o n'a pas de solution.
      g(-3.2)= environ -0.048
      g(-3.19)= environ 0.0665 alors alpha = -3.19

    4)je ne sais quoi écrire puisque j'ai déjà fait le tableau de signe
    5)je n'ai absolument rien compris

    partie B
    1)lim f(x) =+ l'inf quand x tend vers + l'inf
    lim f(x) =- l'inf quand x tend vers - l'inf

    2)a)f'(x)=[3x²(x+1)²-(x^3-1)(2x+2)]/(x+1)^4
    f'(x)=[3x²(x+1)²-2(x^3-1)(x+1)]/(x+1)^4
    f'(x)=(x+1)[3x²(x+1)-2(x^3-1)]/(x+1)^4
    f'(x)=(x^3+3x²+2)/(x+1)^3

    2)b) j'ai un problème avec le tableau ,ça ne correspond pas avec la calculatrice
    3)a) je n'ai jamais fait cela. j'ai essayé de tout mettre sous le même dénominateur mais je bloque
    et je n'ai pas fait les autres questions b) c)
    pour le 4) je ne sais pas non plus comment faire.
    j'ai vraiment besoin d'aide merci d'avance

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  • N
    Modérateurs

    @cap2022 Bonjour,

    Partie A
    question 4, c'est le signe de g(x)g(x)g(x) qui est demandé.
    Sur quel domaine g(x)g(x)g(x) est négatif, puis nul puis positif : ....
    Question 5, Cherche la limite de hhh lorsque xxx tend vers 1.

    Partie B
    Question 1 : Il manque le domaine de définition est les limites quand xxx tend vers -1.
    Question 2b, Pour le tableau de variation, il faut ajouter -1 pour xxx et étudier le signe de la dérivée.
    Question 3a, Réduis l'expression donnée au même dénominateur et identifie terme à terme.
    3b, 3c c'est un calcul de limite.
    Question 4, utilise la relation : y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)y=f′(x0​)(x−x0​)+f(x0​)

  • C

    Bonsoir, Merci Noémie de votre intervention , je suis désolé si je n'ai pas répondu avant mais depuis 2 jours j'ai une grosse fièvre. je vais faire ce que vous m'avez dit cet après-midi et je vous enverrai ce que j'ai fait.
    Merci d'avance

  • C

    Bonsoir Naomi, j'ai essayé de faire le reste.
    4) signe de g(x)
    g(x)<=0 sur ]- l'inf; alpha] et g(x)>=0 sur [alpha ; + l'inf[
    5) lim h(x) = 6 quand x tend vers1+
    lim h(x) =0 quand x tend vers 1-

    j'ai donc conclu que h(x) n'était pas continue sur R je ne suis pas du tout sur de moi
    Partie B

    1. Df = R-{-1}
      lim f(x) =- l'infini quand x tend vers -1+ et -1-

    2b) je n'arrive pas a factoriser le numérateur de f'(x) pour faire le tableau de variation
    3a) j'ai trouvé a=1 ;b=1; c=-3 et d=1 donc on peut écrire f(x)= x+1+(-3x+1)/(x+1)²
    3b) lim [f(x)-(x-2)]quand x tend vers +l'inf=0
    et lim [f(x)-(x-2)] quand x tend vers - l'inf =0
    donc delta d'équation y=x-2 est asymptote oblique à C
    c) je ne sais pas quelle limite chercher?
    4) f'(-2)=-6 f(-2)=-9 alors y= -6x-21
    J'espère que je n'ai pas fait trop d'erreurs et pouvez vous m'aider les 2 questions que je n'ai pas réussi à faire. merci d'avance

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    @cap2022

    Partie A
    Question 5, vérifie le calcul de limite, factorise (x2+4x−5)=(x−1)(x+5)(x^2+4x-5)= (x-1)(x+5)(x2+4x−5)=(x−1)(x+5)
    Partie B
    Question 2 b
    Pour le tableau de variation, utilise les résultats de la partie A pour le signe de f′(x)f'(x)f′(x) sachant que f′(x)=g(x)(x+1)3f'(x)= \dfrac{g(x)}{(x+1)^3}f′(x)=(x+1)3g(x)​
    Question 3 a
    vérifie les calculs, tu dois arriver au système :
    a=1a= 1a=1
    2a+b=02a+b=02a+b=0
    a+2b+c=0a+2b+c=0a+2b+c=0
    b+d=−1b+d=-1b+d=−1
    soit f(x)=x−2+3x+1(x+1)2f(x)= x-2+\dfrac{3x+1}{(x+1)^2}f(x)=x−2+(x+1)23x+1​
    Question 3b,
    Reprends le calcul des limites tu dois avoir le même résultat.
    Question 3c
    La position dépend du signe de la limite.

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