Exercice corrigé d'algèbre linéaire


  • M

    Bonjour à tous et bonne année!

    J'envoi ce message pour savoir si l'un d'entre vous a des exercices de ce type(ce sont ceux de mon prof) svp ?
    Si il y a le corrigé si c'est top
    Exercices d'algèbre linéaire

    Exercice 1. On considère le système d'équations linéaires suivant

    x+3y+5z+t=0x+3 y+5 z+t=0 x+3y+5z+t=0
    2x+7y+14z+5t=02 x+7 y+14 z+5 t=0 2x+7y+14z+5t=0\
    3x+9y+11z+8t=03 x+9 y+11 z+8 t=03x+9y+11z+8t=0

    1. Montrer que l'ensemble FFF des solutions réelles de ce système est un sous-espace vectoriel de R4\mathbb{R}^4R4.
    2. Appliquer l'algorithme du pivot de Gauss pour exprimer toutes les variables en fonction de ttt.
    3. En déduire une base de FFF.
    4. Soit fff l'application linéaire de R4\mathbb{R}^4R4 dans R3\mathbb{R}^3R3 définie pour tout vecteur (x,y,z,t)(x, y, z, t)(x,y,z,t) de R4\mathbb{R}^4R4 par
      $$
      f(x, y, z, t)=(x+3 y+5 z+t, 2 x+7 y+14 z+5 t, 3 x+9 y+11 z+8 t)
      $$

    Déterminer Ker⁡(f)\operatorname{Ker}(f)Ker(f).
    Exercice 2. On considère l'ensemble EEE des polynômes de degré au plus 3 qui vérifient P(1)=P(−1)=0P(1)=P(-1)=0P(1)=P(1)=0.

    1. Soit P(X)=a3X3+a2X2+a1X+a0P(X)=a_3 X^3+a_2 X^2+a_1 X+a_0P(X)=a3X3+a2X2+a1X+a0 un polynôme de degré 3 . Écrire un système de deux équations dont les solutions sont les coefficients d'un polynôme de EEE.
    2. Soit P∈EP \in EPE. Exprimer ses coefficients a0,a1a_0, a_1a0,a1 en fonction de a2,a3a_2, a_3a2,a3, et en déduire une factorisation de PPP.
    3. Retrouver le résultat de la question précédente àl'aide du cours sur l'arithmétique des polynômes.
    4. On considère l'application de R3[X]\mathbb{R}_3[X]R3[X] dans R2\mathbb{R}^2R2 qui à un polynôme PPP associe le vecteur (P(1),P(−1))(P(1), P(-1))(P(1),P(1)).
      a/ Montrer que c'est une application linéaire.
      b/ Déterminer son noyau.
      c/ Montrer qu'elle est surjective de plusieurs manières.
      Exercice 3. On considère une famille échelonnée de poynômes, c'est à dire
      F\mathcal{F}F {P0P_0P0(X),.., Pn(X)P_n(X)Pn(X)}.
      $\ldots, P_n(X)\right}$ avec⁡deg⁡(Pi)=i\operatorname{avec} \operatorname{deg}\left(P_i\right)=iavecdeg(Pi)=i dans Rn[X]\mathbb{R}_n[X]Rn[X].
    5. Montrer que c'est une famille libre (on pourra montrer ce résultat par récurrence sur nnn, en écrivant le coefficient de XnX^nXn dans la combinaison linéaire a0P0+⋯+anPna_0 P_0+\cdots+a_n P_na0P0++anPn ).
    6. En déduire que c'est une base.

    Exercice 4. Soient a,b,c,da, b, c, da,b,c,d des éléments de K\mathbb{K}K. On considère le système de deux équations d'inconnues xxx et yyy suivant
    ax+by=x0a x+b y=x_0 ax+by=x0\
    cx+dy=y0c x+d y=y_0cx+dy=y0

    x0x_0x0 et y0y_0y0 sont des éléments de K\mathbb{K}K.

    1. a/ On suppose a=0a=0a=0; montrer que le système admet une solution unique si, et seulement si bbb et ccc sont non nuls.
      b/ On suppose a≠0a \neq 0a=0; montrer que le système est équivalent au système suivant
      $$
      \left{\begin{aligned}
      a x+b y & =x_0 \
      (a d-b c) y & =a y_0-c x_0
      $$
      et en déduire qu'il admet une unique solution si, et seulement si ad−bc≠0a d-b c \neq 0adbc=0.
      1

  • B

    Bonjour,

    Il faut se limiter à 1 seul exercice par post.

    Petite aide pour Ex1

    x+3y+5z+t=0 (1)
    2x+7y+14z+5t=0 (2)
    3x+9y+11z+8t=0 (3)

    x+3y+5z+t=0 ....... (1)
    y+4z+3t=0 ....... (2)-2*(1)
    -4z+5t=0 .......... (3)-3*(1)

    z = (5/4).t
    y = -3t-5t=-8t
    x=24t-(25/4)t-t = (67/4).t

    x = (67/4).t
    y = -8t
    z = (5/4).t

    Cela devrait te permettre de faire tout l'exercice 1.


  • B

    Aide pour débuter ex 2

    P(1) = a3+a2+a1+a0 = 0 (1)
    P(-1) = -a3+a2-a1+a0 = 0 (2)

    (1)+(2) ---> a2+a0 = 0
    (1)-(2) ---> a3+a1 = 0

    a0 = -a2
    a1 = -a3

    Et donc P(x) = a3.x³ + a2.x² - a3.x - a2
    P(x) = a3.x(x²-1) + a2(x²-1)
    P(x) = (x²-1).(a3x+a2)
    P(x) = (x-1).(x+1).(a3.x + a2)

    Puisque P(1) = P(1) = 0, P(x) est divisble par (x²-1)
    On fait la division euclidienne de P(x) par (x²-1) ... et on cérit la condition pour que le reste soit nul.

    En faisant la division, on trouve que le quotient est (a3.x + a2) et que lereste est = (a1+a3).x+(a0+a2)
    Ce reste doit être nul pour tout x et donc on a : a1+a3 = 0 et a0=a2
    Donc a0 = -a2 et a1 = -a3

    Donc P(x) = (x²-1).(a3.x + a2) et avec a0 = -a2 et a1 = -a3
    --> P(x) = (x-1).(x+1).(a3.x + a2)

    Continue ...


  • mtschoon

    Bonjour,

    @Marvin , si tu cherches des exercices d'algèbre linéaire avec corrections, comme tu l'indiques en debut de topic, tu peux, par exemple, regarder ici :
    https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebrelineaire.html
    ou là :
    https://www.ceremade.dauphine.fr/~casanova/algebre-lineaire.pdf
    Ici, tu peux trouver aussi beaucoup de choses
    http://exo7.emath.fr/un.html

    Je vois que "Françoisdesantilles" a les mêmes préoccupations que toi....


  • M

    @Black-Jack a dit dans Exercice corrigé d'algèbre linéaire :

    Bonjour,

    Il faut se limiter à 1 seul exercice par post.

    Petite aide pour Ex1

    x+3y+5z+t=0 (1)
    2x+7y+14z+5t=0 (2)
    3x+9y+11z+8t=0 (3)

    x+3y+5z+t=0 ....... (1)
    y+4z+3t=0 ....... (2)-2*(1)
    -4z+5t=0 .......... (3)-3*(1)

    z = (5/4).t
    y = -3t-5t=-8t
    x=24t-(25/4)t-t = (67/4).t

    x = (67/4).t
    y = -8t
    z = (5/4).t

    Cela devrait te permettre de faire tout l'exercice 1.
    Bonjour et merci pour ton aide, j'ai compris glogablement l'exo 1 F= Vect(67/4,-8,5/4,1) mais je n'ai pas compris pourquoi dim F =1


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