Exercice corrigé d'algèbre linéaire

[Marvin]

Bonjour à tous et bonne année!

J'envoi ce message pour savoir si l'un d'entre vous a des exercices de ce type(ce sont ceux de mon prof) svp ?
Si il y a le corrigé si c'est top
Exercices d'algèbre linéaire

Exercice 1. On considère le système d'équations linéaires suivant

$x+3y+5z+t=0$
$2x+7y+14z+5t=0$\
$3x+9y+11z+8t=0$

1. Montrer que l'ensemble $F$ des solutions réelles de ce système est un sous-espace vectoriel de ${\mathbb{R}}^4$.
2. Appliquer l'algorithme du pivot de Gauss pour exprimer toutes les variables en fonction de $t$.
3. En déduire une base de $F$.
4. Soit $f$ l'application linéaire de ${\mathbb{R}}^4$ dans ${\mathbb{R}}^3$ définie pour tout vecteur $(x,y,z,t)$ de ${\mathbb{R}}^4$ par
   $$
   f(x, y, z, t)=(x+3 y+5 z+t, 2 x+7 y+14 z+5 t, 3 x+9 y+11 z+8 t)
   $$

Déterminer $\mathrm{Ker}(f)$.
Exercice 2. On considère l'ensemble $E$ des polynômes de degré au plus 3 qui vérifient $P(1)=P(-1)=0$.

1. Soit $P(X)=a_3{X}^3+a_2{X}^2+a_{1}X+a_0$ un polynôme de degré 3 . Écrire un système de deux équations dont les solutions sont les coefficients d'un polynôme de $E$.
2. Soit $P\in E$. Exprimer ses coefficients $a_0,a_1$ en fonction de $a_2,a_3$, et en déduire une factorisation de $P$.
3. Retrouver le résultat de la question précédente àl'aide du cours sur l'arithmétique des polynômes.
4. On considère l'application de ${\mathbb{R}}_3[X]$ dans ${\mathbb{R}}^2$ qui à un polynôme $P$ associe le vecteur $(P(1),P(-1))$.
   a/ Montrer que c'est une application linéaire.
   b/ Déterminer son noyau.
   c/ Montrer qu'elle est surjective de plusieurs manières.
   Exercice 3. On considère une famille échelonnée de poynômes, c'est à dire
   $\mathcal{F}$ {$P_0$(X),.., $P_n(X)$}.
   $\ldots, P_n(X)\right}$ $\mathrm{avec}\mathrm{deg}\left(P_i\right)=i$ dans ${\mathbb{R}}_n[X]$.
5. Montrer que c'est une famille libre (on pourra montrer ce résultat par récurrence sur $n$, en écrivant le coefficient de $X^n$ dans la combinaison linéaire $a_0{P}_0+\cdots +a_n{P}_n$ ).
6. En déduire que c'est une base.

Exercice 4. Soient $a,b,c,d$ des éléments de $\mathbb{K}$. On considère le système de deux équations d'inconnues $x$ et $y$ suivant
$ax+by=x_0$\
$cx+dy=y_0$

où $x_0$ et $y_0$ sont des éléments de $\mathbb{K}$.

1. a/ On suppose $a=0$; montrer que le système admet une solution unique si, et seulement si $b$ et $c$ sont non nuls.
   b/ On suppose $a\ne 0$; montrer que le système est équivalent au système suivant
   $$
   \left{\begin{aligned}
   a x+b y & =x_0 \
   (a d-b c) y & =a y_0-c x_0
   $$
   et en déduire qu'il admet une unique solution si, et seulement si $ad-bc\ne 0$.
   1

[Black-Jack]

Bonjour,

Il faut se limiter à 1 seul exercice par post.

Petite aide pour Ex1

x+3y+5z+t=0 (1)
2x+7y+14z+5t=0 (2)
3x+9y+11z+8t=0 (3)

x+3y+5z+t=0 ....... (1)
y+4z+3t=0 ....... (2)-2*(1)
-4z+5t=0 .......... (3)-3*(1)

z = (5/4).t
y = -3t-5t=-8t
x=24t-(25/4)t-t = (67/4).t

x = (67/4).t
y = -8t
z = (5/4).t

Cela devrait te permettre de faire tout l'exercice 1.

[Black-Jack]

Aide pour débuter ex 2

P(1) = a3+a2+a1+a0 = 0 (1)
P(-1) = -a3+a2-a1+a0 = 0 (2)

(1)+(2) ---> a2+a0 = 0
(1)-(2) ---> a3+a1 = 0

a0 = -a2
a1 = -a3

Et donc P(x) = a3.x³ + a2.x² - a3.x - a2
P(x) = a3.x(x²-1) + a2(x²-1)
P(x) = (x²-1).(a3x+a2)
P(x) = (x-1).(x+1).(a3.x + a2)

Puisque P(1) = P(1) = 0, P(x) est divisble par (x²-1)
On fait la division euclidienne de P(x) par (x²-1) ... et on cérit la condition pour que le reste soit nul.

En faisant la division, on trouve que le quotient est (a3.x + a2) et que lereste est = (a1+a3).x+(a0+a2)
Ce reste doit être nul pour tout x et donc on a : a1+a3 = 0 et a0=a2
Donc a0 = -a2 et a1 = -a3

Donc P(x) = (x²-1).(a3.x + a2) et avec a0 = -a2 et a1 = -a3
--> P(x) = (x-1).(x+1).(a3.x + a2)

Continue ...

[mtschoon]

Bonjour,

@Marvin , si tu cherches des exercices d'algèbre linéaire avec corrections, comme tu l'indiques en debut de topic, tu peux, par exemple, regarder ici :
https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/algebrelineaire.html
ou là :
https://www.ceremade.dauphine.fr/~casanova/algebre-lineaire.pdf
Ici, tu peux trouver aussi beaucoup de choses
http://exo7.emath.fr/un.html

Je vois que "Françoisdesantilles" a les mêmes préoccupations que toi....

[Marvin]

@Black-Jack a dit dans Exercice corrigé d'algèbre linéaire :

Bonjour,

Il faut se limiter à 1 seul exercice par post.

Petite aide pour Ex1

x+3y+5z+t=0 (1)
2x+7y+14z+5t=0 (2)
3x+9y+11z+8t=0 (3)

x+3y+5z+t=0 ....... (1)
y+4z+3t=0 ....... (2)-2*(1)
-4z+5t=0 .......... (3)-3*(1)

z = (5/4).t
y = -3t-5t=-8t
x=24t-(25/4)t-t = (67/4).t

x = (67/4).t
y = -8t
z = (5/4).t

Cela devrait te permettre de faire tout l'exercice 1.
Bonjour et merci pour ton aide, j'ai compris glogablement l'exo 1 F= Vect(67/4,-8,5/4,1) mais je n'ai pas compris pourquoi dim F =1