exercice examen d'entrée polytech

[-lala-o]

Bonjour, j'aimerais savoir quel théorème ou propriété on utilise pour l'exercice ci-joint.

[Black-Jack]

Une manière parmi d'autre.

Soit f(x) = 1 - 1/x - ln(x) pour x >= 1

f'(x) = 1/x² - 1/x = (1-x)/x²
Donc f'(x) <= 0 (puisque x >= 1) ---> f est décroissante
Le max de f(x) est donc f(1) = 1 - 1/1 - ln(1) = 0

Et donc 1 - 1/x - ln(x) <= 0
1 - 1/x <= ln(x) (1)
''''''''''''''''''
Soit g(x) = x-1 - ln(x) (pour x >= 1)
g'(x) = 1 - 1/x = (x-1)/x >= 0 puisque x >= 1 --> g est croissante et le min de g(x) = g(1) = 1 - 1 - ln(1) = 0

Et donc x-1-ln(x) >= 0
ln(x) <= (x-1) (2)
''''''''''''''''''''''
(1) et (2) -->
Pour x >= 1, on a : 1 - 1/x <= ln(x) <= x-1