Limite de quotient de fonctions ayant pour li

[guem]

Est il possible que le quotient de deux fonctions admettant toutes deux une limite en l'infini égale à 0 n'ait pas de limite ?

[mtschoon]

@guem, bonjour,

Ici, la politesse n'est pas une option.
Il faudra y penser une autre fois.

@guem a dit dans Limite de quotient de fonctions ayant pour li :

Est il possible que le quotient de deux fonctions admettant toutes deux une limite en l'infini égale à 0 n'ait pas de limite ?

La réponse à ta question est OUI.
Bien sûr, le but , lorsqu'on a une indétermination de la forme $\frac{0}{0}$, est de la lever pour trouver la limite, mais il se peut que la limite n'existe pas.

[mtschoon]

@guem, un exemple :

Pour $x\ne 0$
$f(x)=cos(x+\frac{1}{x})-cos(x-\frac{1}{x})$
$g(x)=sin\frac{1}{x}$

Tu peux transformer $f(x)$ avec la formule
$cosp-cosq=-2sin\frac{p+q}{2}sin\frac{p-q}{2}$
(c'est une conséquence des formules d'addition)

Sauf erreur, tu dois trouver $f(x)=-2sinxsin\frac{1}{x}$

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $\frac{1}{x}$ tend vers 0, $sin\frac{1}{x}$ tend vers $0$; vu que $sinx$ est une quantité comprise entre $-1$ et $1$, le produit tend vers $0$ :
$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$

Lorsque $x$ tend vers $+\infty$, $\frac{1}{x}$ tend vers 0, $sin\frac{1}{x}$ tend vers $0$
$\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=0$

Pour $x\ne 0$, le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ se simplifie :

$\frac{f(x)}{g(x)}=-2sinx$

Lorsque $x$ tnd vers $+\infty$, $sin(x)$ oscille ente $-1$ et $+1$, donc
$\frac{f(x)}{g(x)}$ oscille ente $+2$ et $-2$

donc $\frac{f(x)}{g(x)}$ n'a pas de limite.

Remarque : dans cet exemple, la réponse est la même lorsque $x$ tend vers $-\infty$