Arithmétique démonstration

[André mathis]

Bonsoir,
Je travail sur mathtraining et y a un bout de démonstration que je n'arrive pas à comprendre. Je vous cite ce qui est écrit ( en sachant que l'on veut démontrer que si un élément a est inversible modulo n alors a élevé à la puissance n'importe quel entier strictement inférieur à l'ordre multiplicatif de a modulo n est différent de tout autre a élevé à la puissance n'importe quel autre nombre strictement inférieur à l'ordre multiplicatif de a modulo n

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Proposition 3
Si (a,n)=1, les nombres a^0,a^1,a^2,…,a^(on(a)−1)sont distincts deux à deux modulo n.

Démonstration
On procède par l'absurde. Supposons avoir i,j∈{0,1,…,on(a)−1}
distincts tels que ai≡aj(modn). On peut sans perte de généralité supposer que i>j. Vu que a est inversible modulo n, on peut multiplier les deux membres par a^(−j)pour obtenir a^(i−j)≡1(modn).
Il s'agit là d'une contradiction, car nous avons trouvé un exposant (i−j) non nul et inférieur à on(a)qui donne 1modulo n.

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Je n'arrivais pas à comprendre comment à la fin on peut parler de i-j comme si c'était une simple puissance alors a^(-j) est juste un symbole pour exprimer l'inverse de a^(-j) parce que dans les faits a^(-j) c'est même pas un entier.

Merci d'avance.
Bonne soirée.

[mtschoon]

@André-mathis , bonjour,

Tu as écrit "a^(-j) est juste un symbole pour exprimer l'inverse de a^(-j)"
Je pense que tu as fait une faute de frappe et que tu as voulu écrire :
"a^(-j) est juste un symbole pour exprimer l'inverse de a^(j)"

Je comprends ton soucis, car les notations utilisées prêtent à confusion (et il ne faut pas les prendre au premier degré )

Il faut que tu reviennes à la définition même de $Z/nZ$

Je trouve beaucoup plus clair (ce qui n'est pas le cas dans ce que tu indiques) d'écrire différemment les éléments de $Z$ et les éléments de $Z/nZ$.

$Z/nZ$ est l'ensemble de classes d'équivalence de la relation d'équivalence de $Z$ définie par :
$x\equiv y[n]$ si et seulement si $x=y+kn$, avec $k\in Z$

Les classes d'équivalence (c'est à dire les éléments de $Z/nZ$) peuvent se noter $\dot{0}$, $\dot{1}$, $\dot{2}$ etc
Ainsi :
$Z/nZ=\{\dot{0},\dot{1},\dot{2},...,\dot{(n-1)\}}$

Par exemple, dans $Z/10Z$, on obtient : $\dot{3}\times \dot{7}=\dot{1}$

L'inverse de $\dot{3}$, noté $(\dot{3}{)}^{-1}$, vaut $\dot{7}$

d'ou : $\dot{3}\times (\dot{3}{)}^{-1}=3\times \dot{7}=\dot{1}$

Je te conseille les consulter la totalité de cet article que je te mets en lien et en particulier les paragraphes 3.2.2, 3.3.1 et 3.3.2

http://math.univ-lyon1.fr/~lass/anicoursarithbanal.pdf

Bonnes réflexions.