Isométrie vectorielle

Bonsoir

Soit k un réel. On appelle varphi_{k} l'endomorphisme de V définie par : varphi k ( vec i) = (4k+1)/5 vec i + (2 - 2k)/5 vec j et varphi k ( vec j) =( 2-2k)/ 5 vec i + (4 + k)/5 vec j

Pour quelles valeurs de k varphi_{k} est-elle bijective ?
Soit fo l'application affine de P d'endomorphisme associé varphi_{0} et telle que f_{0}(O) = O' (- 2; 1) Déterminer l'expression analytique de foOfo (f zéro rond f zéro) , puis la nature et les éléments caractéristiques de f_{0}
Déterminer la nature de varphi_{-1} et caractériser la.
Pour k ≠ 1, déterminer les droites vectorielles globalement invariantes par varphi_{k}
Soient a et b deux réels, et g l'application affine de P d'endomorphisme associé varphi_{-1} avec g(O) = O_{1}(a; b) .

a) Ecrire l'expression analytique de g par rapport au repère ( 0 ; vec b ; vec j )
b) Quelle condition doivent vérifier a et b pour que g soit involutive?

@Zeïnab-Mahamadou varphi = φ
Voici mes résultats

φ(k) est bijective ⇔ φ(k) ≠ 0
J’ai calculer le déterminant de la matrice de l’endomorphisme et j’ai trouvé det = k
K doit être différent de 0
Expression analytique de foOfo
J’ai trouvé
x" = (1/5)x + (2/5)y -2
y"=(2/5)x +(4/5)y +1
Nature : foOfo est la symétrie orthogonale d’axe la droite (D):2x-y+ 5=0
3)nature de φ(-1)
Le det = -1
La matrice φ(-1) est de la forme |a b|
|b -a|
avec a = -3/5 et b= 4/5 on a a^2 + b^2 = 1
Donc φ(-1) Est une symétrie orthogonale vectorielle
*caractéristiques :

Est-ce correct svp ?
Si oui aidez moi avec la.suite je suis bloquée

@Zeïnab-Mahamadou
*caractéristiques :
symétrie orthogonale vectorielle d’axe D’): 4x-y=0 aidez moi avec la suite 4 et 5 svp
je suis bloquée

@Zeïnab-Mahamadou bonsoir je n’ai toujours pas eu de réponse

@Zeïnab-Mahamadou , bonjour,

J'essaye de regarder tes questions mais entre les O ,o 0 ,- ,_, ce n'est pas commode de déchiffrer.
En Latex, ce serait mieux...

Je commence par tes réponses,

1 ) OK pour $k≠0k\ne 0$

2 ) Si j'ai bien lu, $k = 0$

OK pour les expressions de $x^{''}$ et $y^{''}$ en fonction de de $x$ et $y$
Tu as donc trouvé $x^{''} = x^{'}$ et $y^{''} = y^{'}$
Tu peux donc déduire $f_0\ o\ f_0=f_0$
L'ensemble des points invariants que tu donnes est bon mais revois la nature de $f_0$
Ce n'est pas une symétrie.
Regarde ici : http://serge.mehl.free.fr/anx/appl_aff.html#projec

3 ) Si j'ai bien lu, $k = - 1$

OK pour symétrie orthogonale vectorielle.
Par contre pour l'axe, vérifie ton calcul.
J'ai fait vite, mais je trouve $2 x - y = 0$

@Zeïnab-Mahamadou je te donne des pistes pour les questions 4 ) et 5 ) où tu bloques.

4 ) Si j'ai bien lu, $k≠1k\ne 1$

Tu appliques la même démarche que précédemment.

Sauf erreur, tu dois trouver :

$x′=4k+15x+2−2k5yx'=\dfrac{4k+1}{5}x+\dfrac{2-2k}{5}y$
$y′=2−2k5x+4+k5yy'=\dfrac{2-2k}{5}x+\dfrac{4+k}{5}y$

$x^{'} = x$ et $y^{'} = y$

après simplifications, te donne :le système :
${(4k−4)x+(2−2k)y=0(2−2k)x+(−1+k)y=0\begin{cases}(4k-4)x+(2-2k)y=0\cr (2-2k)x+(-1+k)y=0\end{cases}$
Tu peux constater que les deux équations du système sont équivalentes

Au final : $(2−2k)x+(−1+k)y=0\boxed{(2-2k)x+(-1+k)y=0}$

Tu peux en profiter pour remplacer $k$ par $- 1$ pour vérifier la réponse de la question 3 ).

@Zeïnab-Mahamadou ,

5 ) a ) Tu as fait une faute de frappe en tapant le repère , mais on interprète.
Si j'ai bien lu, $k = - 1$
Pour $g (O)$ j'espère avoir compris ce qui est écrit...

Sous forme matricielle :
$(x′y′)\begin{pmatrix} x'\cr y' \end{pmatrix}$ = $3/5)×(xy)+(ab)\begin{pmatrix}-3/5\ \ \ 4/5 \cr 4/5\ \ \ \ \ \ \ 3/ 5\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} x\cr y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\cr b\end{pmatrix}$

d'où :
$x′=−35x+45y+ax'=-\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y+a$
$y′=45x+35y+by'=\dfrac{4}{5}x+\dfrac{3}{5}y+b$

5 ) b )
$g$ involution : $\ o \ g=Id$

Tu calcules $x^{''}$ et $y^{''}$ en fonction de $x$ et $y$

En écrivant $x^{''} = x$ et $y^{''} = y$ , après toutes les simplifications, sauf erreurs, tu dois trouver $a + 2 b = 0$

Bon travail.
Il y a du travail dans cet exercice !