Isométrie vectorielle
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MMMounah dernière édition par
Bonsoir
Soit k un réel. On appelle varphi_{k} l'endomorphisme de V définie par : varphi k ( vec i) = (4k+1)/5 vec i + (2 - 2k)/5 vec j et varphi k ( vec j) =( 2-2k)/ 5 vec i + (4 + k)/5 vec j
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Pour quelles valeurs de k varphi_{k} est-elle bijective ?
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Soit fo l'application affine de P d'endomorphisme associé varphi_{0} et telle que f_{0}(O) = O' (- 2; 1) Déterminer l'expression analytique de foOfo (f zéro rond f zéro) , puis la nature et les éléments caractéristiques de f_{0}
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Déterminer la nature de varphi_{-1} et caractériser la.
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Pour k ≠ 1, déterminer les droites vectorielles globalement invariantes par varphi_{k}
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Soient a et b deux réels, et g l'application affine de P d'endomorphisme associé varphi_{-1} avec g(O) = O_{1}(a; b) .
a) Ecrire l'expression analytique de g par rapport au repère ( 0 ; vec b ; vec j )
b) Quelle condition doivent vérifier a et b pour que g soit involutive?
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MMMounah dernière édition par MMounah
@Zeïnab-Mahamadou varphi = φ
Voici mes résultats- φ(k) est bijective ⇔ φ(k) ≠ 0
J’ai calculer le déterminant de la matrice de l’endomorphisme et j’ai trouvé det = k
K doit être différent de 0 - Expression analytique de foOfo
J’ai trouvé
x" = (1/5)x + (2/5)y -2
y"=(2/5)x +(4/5)y +1
Nature : foOfo est la symétrie orthogonale d’axe la droite (D):2x-y+ 5=0
3)nature de φ(-1)
Le det = -1
La matrice φ(-1) est de la forme |a b|
|b -a|
avec a = -3/5 et b= 4/5 on a a^2 + b^2 = 1
Donc φ(-1) Est une symétrie orthogonale vectorielle
*caractéristiques :
Est-ce correct svp ?
Si oui aidez moi avec la.suite je suis bloquée
- φ(k) est bijective ⇔ φ(k) ≠ 0
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MMMounah dernière édition par
@Zeïnab-Mahamadou
*caractéristiques :
symétrie orthogonale vectorielle d’axe D’): 4x-y=0 aidez moi avec la suite 4 et 5 svp
je suis bloquée
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MMMounah dernière édition par
@Zeïnab-Mahamadou bonsoir je n’ai toujours pas eu de réponse
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@Zeïnab-Mahamadou , bonjour,
J'essaye de regarder tes questions mais entre les O ,o 0 ,- ,_, ce n'est pas commode de déchiffrer.
En Latex, ce serait mieux...Je commence par tes réponses,
1 ) OK pour k≠0k\ne 0k=0
2 ) Si j'ai bien lu, k=0k=0k=0
OK pour les expressions de x′′x''x′′ et y′′y''y′′ en fonction de de xxx et yyy
Tu as donc trouvé x′′=x′x''=x'x′′=x′ et y′′=y′y''=y'y′′=y′
Tu peux donc déduire f0 o f0=f0f_0\ o\ f_0=f_0f0 o f0=f0
L'ensemble des points invariants que tu donnes est bon mais revois la nature de f0f_0f0
Ce n'est pas une symétrie.
Regarde ici : http://serge.mehl.free.fr/anx/appl_aff.html#projec3 ) Si j'ai bien lu, k=−1k=-1k=−1
OK pour symétrie orthogonale vectorielle.
Par contre pour l'axe, vérifie ton calcul.
J'ai fait vite, mais je trouve 2x−y=02x-y=02x−y=0
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@Zeïnab-Mahamadou je te donne des pistes pour les questions 4 ) et 5 ) où tu bloques.
4 ) Si j'ai bien lu, k≠1k\ne 1k=1
Tu appliques la même démarche que précédemment.
Sauf erreur, tu dois trouver :
x′=4k+15x+2−2k5yx'=\dfrac{4k+1}{5}x+\dfrac{2-2k}{5}yx′=54k+1x+52−2ky
y′=2−2k5x+4+k5yy'=\dfrac{2-2k}{5}x+\dfrac{4+k}{5}yy′=52−2kx+54+kyx′=xx'=xx′=x et y′=yy'=yy′=y
après simplifications, te donne :le système :
{(4k−4)x+(2−2k)y=0(2−2k)x+(−1+k)y=0\begin{cases}(4k-4)x+(2-2k)y=0\cr (2-2k)x+(-1+k)y=0\end{cases}{(4k−4)x+(2−2k)y=0(2−2k)x+(−1+k)y=0
Tu peux constater que les deux équations du système sont équivalentesAu final : (2−2k)x+(−1+k)y=0\boxed{(2-2k)x+(-1+k)y=0}(2−2k)x+(−1+k)y=0
Tu peux en profiter pour remplacer kkk par −1-1−1 pour vérifier la réponse de la question 3 ).
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@Zeïnab-Mahamadou ,
5 ) a ) Tu as fait une faute de frappe en tapant le repère , mais on interprète.
Si j'ai bien lu, k=−1k=-1k=−1
Pour g(O)g(O)g(O) j'espère avoir compris ce qui est écrit...Sous forme matricielle :
(x′y′)\begin{pmatrix} x'\cr y' \end{pmatrix}(x′y′)=(−3/5 4/54/5 3/5)×(xy)+(ab)\begin{pmatrix}-3/5\ \ \ 4/5 \cr 4/5\ \ \ \ \ \ \ 3/ 5\end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} x\cr y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix} a\cr b\end{pmatrix}(−3/5 4/54/5 3/5)×(xy)+(ab)d'où :
x′=−35x+45y+ax'=-\dfrac{3}{5}x+\dfrac{4}{5}y+ax′=−53x+54y+a
y′=45x+35y+by'=\dfrac{4}{5}x+\dfrac{3}{5}y+by′=54x+53y+b5 ) b )
ggg involution : g o g=Idg \ o \ g=Idg o g=IdTu calcules x′′x''x′′ et y′′y''y′′ en fonction de xxx et yyy
En écrivant x′′=xx''=xx′′=x et y′′=yy''=yy′′=y , après toutes les simplifications, sauf erreurs, tu dois trouver a+2b=0a+2b=0a+2b=0
Bon travail.
Il y a du travail dans cet exercice !