Dérivées partielles et différentielles d'une fonction


  • medou coulibaly

    Bonsoir je bloque sur cet exercice, après plusieurs tentatives, je n'y arrive pas à trouver une issue.
    Soit f : (x,y,z) ==> { f (x,y,z) = xy/z^2 lorsque z ≠ 0 , f( x,y,z ) = 0
    1/
    Calculer les 3 dérivées partielles de f dans la base canonique de ℝ³ au point (1,1,1)
    2 ) Montrer ensuite que f est différentiable en (1,1,1) , f est-elle différentiable en ( 0,0,0 )


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly Bonsoir,

    Pour le calcul de la dérivée partielle de fff par rapport à xxx, tu considères que yyy et zzz sont des constantes.
    Même principe pour les autres dérivées partielles.

    Si tu as compris les exercices précédents, tu es capable de calculer les dérivées partielles.
    Indique tes calculs.


  • medou coulibaly

    @Noemi Bonsoir Monsieur
    Regarde cette définition il s'agit ? J'ai des difficultés à l'appliquer Screenshot_20240205_182125_OneDrive.jpg


  • medou coulibaly

    @medou-coulibaly
    ∂xf( y, z ) = y / yz^2
    ∂yf ( x, z ) = x/ z^2
    ∂zf( x, y ) = xy / 2zy
    vérifiez svp


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    Attention à l'écriture, c'est f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z)
    Vérifie la première et la troisième.


  • medou coulibaly

    @Noemi
    ∂xf( x,y, z ) = y / yz^2
    ∂xf ( x,y, z ) = x/ z^2
    ∂xf( x, y, z ) = xy / 2zy
    Bonjour revérifier


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    Re vérifie.
    Si xxx est la variable et aaa une constante :
    La dérivée de axaxax est aaa
    La dérivée de ax2\dfrac{a}{x^2}x2a est −2ax3-\dfrac{2a}{x^3}x32a

    Tu calcules ensuite la valeur de ces dérivées au point de coordonnée (1;1;1)(1;1;1)(1;1;1).


  • B

    δfδx=yz2\frac{\delta f}{\delta x} = \frac{y}{z^2}δxδf=z2y ... si z est différent de 0

    et donc en (1 ; 1 ; 1), δfδx=1\frac{\delta f}{\delta x} = 1δxδf=1

    δfδy=...\frac{\delta f}{\delta y} = ... δyδf=... et donc en (1 ; 1 ; 1), δfδy=...\frac{\delta f}{\delta y} = ...δyδf=...

    δfδz=...\frac{\delta f}{\delta z} = ... δzδf=... et donc en (1 ; 1 ; 1), δfδz=...\frac{\delta f}{\delta z} = ...δzδf=...


    Attention, pour la dérivée en (0;0;0) il faut réfléchir un peu ...


  • medou coulibaly

    @Black-Jack
    Non jusque-là je ne comprends pas cette affaire de dérivées partielles
    Pour moi ∂f/∂y = x/z^2 puisque je dérive y en laissant x et z constant
    Noemi si je veux bien comprendre si la dérivée de ax = a et aussi la dérivée de a/x^2 = - 2a / x^3
    Alors ce que Black Jack a fait disant que ∂f/∂x = xy/z^2 = xy^2/ (z^2)^2 = xy^2/z^4 = x/z^2 d'où ∂f/∂x = x / z^2.
    Je m'arrête là, personnellement j'ai des difficultés à m'ensortir car je ne me retrouve pas


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    La deuxième est juste, donc applique le même raisonnement pour les deux autres.


  • medou coulibaly


  • B

    @medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

    @Black-Jack
    Non jusque-là je ne comprends pas cette affaire de dérivées partielles
    Pour moi ∂f/∂y = x/z^2 puisque je dérive y en laissant x et z constant
    Noemi si je veux bien comprendre si la dérivée de ax = a et aussi la dérivée de a/x^2 = - 2a / x^3
    Alors ce que Black Jack a fait disant que ∂f/∂x = xy/z^2 = xy^2/ (z^2)^2 = xy^2/z^4 = x/z^2 d'où ∂f/∂x = x / z^2.
    Je m'arrête là, personnellement j'ai des difficultés à m'ensortir car je ne me retrouve pas

    Bonjour,

    Je n'ai JAMAIS écrit les absurdités que tu me prêtes.
    Je n'ai pas écrit :
    "∂f/∂x = xy/z^2 = xy^2/ (z^2)^2 = xy^2/z^4 = x/z^2 d'où ∂f/∂x = x / z^2."

    mais bien ∂f/∂x = y/z² (si z est différent de 0) ... ce qui est correct.

    Tu as écrit : ∂xf( x,y, z ) = y / yz^2 ... ce qui est faux.


    ∂f/∂y = x/z^2 est exact ... si z est différent de 0

    et ta dérivée partielle de f par rapport à z est fausse.


  • medou coulibaly

    @Black-Jack Screenshot_20240206_182402_Phoenix.jpg
    Ce qui est là aussi n'est pas mon écriture lisez bien ce que j'ai écrit, ne dites pas ce que j'ai pas écrit.
    Je sais que je ne maîtrise pas bien l'exercice mais faites attention à ce que j'ai pas écrit


  • medou coulibaly

    @Black-Jack Screenshot_20240206_182826_Phoenix.jpg
    Si celle-ci alors j'avais déjà cela bien avant aujourd'hui Screenshot_20240206_182958_Phoenix.jpg


  • B

    @medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

    @Black-Jack Screenshot_20240206_182402_Phoenix.jpg
    Ce qui est là aussi n'est pas mon écriture lisez bien ce que j'ai écrit, ne dites pas ce que j'ai pas écrit.
    Je sais que je ne maîtrise pas bien l'exercice mais faites attention à ce que j'ai pas écrit

    J'ai fais un "copier-coler" de ce que tu as écrit dans ton message et que je refais ici :

    ∂xf( x,y, z ) = y / yz^2
    ∂xf ( x,y, z ) = x/ z^2
    ∂xf( x, y, z ) = xy / 2zy

    Et tu as bel et bien écrit ∂xf( x,y, z ) = y / yz^2 comme je l'ai mentionné.

    Par contre, ce que tu as copié comme étant ma réponse ne correspond pas du tout à ce que j'ai écrit.


    Pour f (x,y,z) = xy/z^2 si z est différent de 0.

    f (x,y,z) = xy*z^-2
    On a aussi (si z est différent de 0) : ∂f/∂z = xy * (-2)*z^(-3)

    soit : ∂f/∂z = -2xy/z³ ... ce n'est pas non plus ce que tu as écrit.


  • medou coulibaly

    @medou-coulibaly si cela est vrai que pour dériver partiellement qu'il faut tenir compte des constantes et en dérivant dans l'ordre des variables alors 20240206_183307.jpg vérifié cela


  • B

    @medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

    @medou-coulibaly si cela est vrai que pour dériver partiellement qu'il faut tenir compte des constantes et en dérivant dans l'ordre des variables alors 20240206_183307.jpg vérifié cela

    Aie aie aie.

    La dérivée d'un quotient n'est pas le quotient des dérivées.

    Voir mon message précédent.


  • medou coulibaly

    @Black-Jack
    Je sais ici que la fonction de la forme U/V avec V^2


  • medou coulibaly

    @Black-Jack
    Dans ma photo sur-soulignée par vous , vous dîtes que j'ai écrit y/yz^2 Screenshot_20240206_184121_Phoenix.jpg


  • medou coulibaly

    @Black-Jack je préfère abandonner l'exercice c'est mieux.Merci 🙏


  • B

    @medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

    @Black-Jack
    Je sais ici que la fonction de la forme U/V avec V^2

    Et bien alors, il suffit de dériver correctement :

    Pour une dérivée partielle par rapport à z, x et y sont considérés comme des constantes.

    Quelle est la dérivée par rapport à z de f(z) = A/z² (avec A = x.y = constante) ?

    f '(z) = A * -(z²)'/z^4 = A * -2z/z^4 = -2A/z³
    et comme A = xy ---> f'(z) = -2xy/z³

    Mais dans un tel cas, on n'utilise pas la notation f '(z), on ecrit :

    ∂f/∂z = -2xy/z³


  • B

    @medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

    @Black-Jack
    Dans ma photo sur-soulignée par vous , vous dîtes que j'ai écrit y/yz^2 Screenshot_20240206_184121_Phoenix.jpg

    JE N'AI JAMAIS ECRIT CELA


  • medou coulibaly

    @Black-Jack
    Le mieux pour moi est d'abandonner l'exercice, merci à vous 🙏


  • medou coulibaly

    @Black-Jack * signifie quoi ?


  • B

    @medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

    @Black-Jack * signifie quoi ?

    Bonjour,

    C'est un symbole de "multiplication" très souvent employé.

    Pour écrire par exemple "a fois b", on peut écrire tout ce qui suit :
    a∗ba * bab
    a.ba.ba.b
    a×ba \times ba×b
    ababab

    Chacune de ces écritures ayant des avantages et des inconvénients.

    Le point dans l'écriture a.ba.ba.b peut parfois être confondu avec le point qui sépare la partie entière et décimale d'un nombre (1 fois 2, si on écrit 1.2 il y a risque de confusion)
    Avec a×ba \times ba×b, on peut confondre le signe ×\times× avec la variable X
    ...
    ''''''''''''''''''''''''''''''
    Je réécris en utilisant Latex

    Quelle est la dérivée par rapport à z de f(z)=Az2f(z) = \frac{A}{z^2}f(z)=z2A (avec A = x.y = constante) ?

    f′(z)=A×−(z2)′z4=A×−2zz4=−2Az3f '(z) = A \times \frac{-(z^2)'}{z^4} = A \times \frac{-2z}{z^4} = -\frac{2A}{z^3}f(z)=A×z4(z2)=A×z42z=z32A
    et comme A=xy→f′(z)=−2xyz3A = xy \to f'(z) = -\frac{2xy}{z^3}A=xyf(z)=z32xy

    Mais dans un tel cas, on n'utilise pas la notation f '(z), on ecrit :

    ∂f∂z=−2xyz3\frac{∂f}{∂z} = -\frac{2xy}{z^3}zf=z32xy


  • medou coulibaly

    @Black-Jack Bonjour j'ai compris cela merci beaucoup à vous maintenant je vais passer au ( 1 , 1 ,1 )


  • medou coulibaly


  • N
    Modérateurs

    @medou-coulibaly

    Attention au suite d'égale que tu écris.
    ∂f∂y(x,y,z)=xz2\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\dfrac{x}{z^2}yf(x,y,z)=z2x

    ∂f∂y(1,1,1)=112=1\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1,1)=\dfrac{1}{1^2}=1yf(1,1,1)=121=1

    ∂f∂z(x,y,z)=−2xyz3\dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\dfrac{-2xy}{z^3}zf(x,y,z)=z32xy
    et
    ∂f∂z(1,1,1)=−2\dfrac{\partial f}{\partial z}(1,1,1)=-2zf(1,1,1)=2


  • medou coulibaly

    @Noemi ok d'accord merci j'ai bien compris 👍
    Pour la 2) Screenshot_20240207_132634_OneDrive.jpg
    J'ai besoin d'une explication simplifiée de la définition et du théorème de la différentiabilité d'une fonction


  • medou coulibaly

    @medou-coulibaly jusque-là j'ai pas encore eu de réponse pour pouvoir avancer


  • medou coulibaly

    @medou-coulibaly Bonjour je bloque toujours sur la question et je n'arrive pas à avancer


  • mtschoon

    @medou-coulibaly , bonjour,

    Comme je constate que tu n'as pas de réponse à tes deux dernières questions, je regarde.

    A vrai dire ce topic étant tellement long et "bizarre", je préfère partir de ton énoncé, quitte à faire des répétitions.

    @medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

    Bonsoir je bloque sur cet exercice, après plusieurs tentatives, je n'y arrive pas à trouver une issue.
    Soit f : (x,y,z) ==> { f (x,y,z) = xy/z^2 lorsque z ≠ 0 , f( x,y,z ) = 0
    1/
    Calculer les 3 dérivées partielles de f dans la base canonique de ℝ³ au point (1,1,1)
    2 ) Montrer ensuite que f est différentiable en (1,1,1) , f est-elle différentiable en ( 0,0,0 )

    Il semble manquer quelque chose dans ton énoncé.
    f(x,y,z)=xyz2f(x,y,z)=\dfrac{xy}{z^2}f(x,y,z)=z2xy pour z≠0\boxed{z\ne 0}z=0 C'est OK

    Par contre , tu continue par f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0 ...?

    Je suppose que tu as voulu écrire f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0 pour z=0\boxed{z=0}z=0
    Vérifie.

    Pour la 1 ), on te demande de calculer les 3 dérivées partielles au point (1,1,1).
    Tu as deux façons possibles, mais il faut savoir l'esprit de la question.


  • mtschoon

    @medou-coulibaly

    Première façon : utiliser la définition

    J'utilise les notations dont j'ai l'habitude.

    a) dérivée partielle de f par rapport à xxx au point (1,1,1)
    f(1,1,1)=1×112=1f(1,1,1)=\dfrac{1\times 1}{1^2}=1f(1,1,1)=121×1=1
    f(1+h,1,1)=(1+h)(1)12=1+hf(1+h,1,1)=\dfrac{(1+h)(1)}{1^2}=1+hf(1+h,1,1)=12(1+h)(1)=1+h

    δfδx(1,1,1)=lim⁡h→0f(1+h,1,1)−f(1,1,1)h\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta x}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+h,1,1)-f(1,1,1)}{h}δxδf(1,1,1)=h0limhf(1+h,1,1)f(1,1,1)

    δfδx(1,1,1)=lim⁡h→01+h+1h=lim⁡h→0hh=1\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta x}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{1+h+1}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{h}{h}=\boxed{1}δxδf(1,1,1)=h0limh1+h+1=h0limhh=1

    b) dérivée partielle de f par rapport à yyy au point (1,1,1)
    f(1,1,1)=1f(1,1,1)=1f(1,1,1)=1
    f(1,1+h,1)=(1)(1+h)12=1+hf(1,1+h,1)=\dfrac{(1)(1+h)}{1^2}=1+hf(1,1+h,1)=12(1)(1+h)=1+h

    Comme ci-dessus, , tu trouves
    δfδy(1,1,1)=lim⁡h→0f(1,1+h,1)−f(1,1,1)h=1\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta y}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1,1+h,1)-f(1,1,1)}{h}=\boxed{1}δyδf(1,1,1)=h0limhf(1,1+h,1)f(1,1,1)=1

    c) dérivée partielle de f par rapport à zzz au point (1,1,1)
    f(1,1,1)=1f(1,1,1)=1f(1,1,1)=1
    f(1,1,1+h)=(1)(1)(1+h)2=1(1+h)2f(1,1,1+h)=\dfrac{(1)(1)}{(1+h)^2}=\dfrac{1}{(1+h)^2}f(1,1,1+h)=(1+h)2(1)(1)=(1+h)21

    δfδz(1,1,1)=lim⁡h→0f(1,1,1+h)−f(1,1,1)h\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta z}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1,1,1+h)-f(1,1,1)}{h}δzδf(1,1,1)=h0limhf(1,1,1+h)f(1,1,1)

    δfδz(1,1,1)=lim⁡h→01(1+h)2−1h\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta z}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{(1+h)^2}-1}{h}δzδf(1,1,1)=h0limh(1+h)211

    δfδz(1,1,1)=lim⁡h→0=1−(1+h)2(1+h)2×1h\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta z}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}=\dfrac{1-(1+h)^2}{(1+h)^2}\times \dfrac{1}{h}δzδf(1,1,1)=h0lim=(1+h)21(1+h)2×h1

    Tu développes le numérateur avec (1+h)2=1+2h+h2(1+h)^2=1+2h+h^2(1+h)2=1+2h+h2 et tu simplifies

    Tu dois trouver :
    δfδz(1,1,1)=lim⁡h→0−h2−2h(1+h)2h=lim⁡h→0h(−h−2)(1+h)2h\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta z}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{-h^2-2h}{(1+h)^2h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{h(-h-2)}{(1+h)^2h}δzδf(1,1,1)=h0lim(1+h)2hh22h=h0lim(1+h)2hh(h2)

    Tu simplifies par hhh non nul, tu fais tendre hhh vers 000 et tu trouves :
    δfδz(1,1,1)=−2\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta z}(1,1,1)=\boxed{-2}δzδf(1,1,1)=2


  • mtschoon

    @medou-coulibaly

    Seconde façon (qui a été vu au cours des réponses précédentes, je crois, donc je ne refais pas)

    Tu calcules les 3 dérivées partielles à un point (x,y,z) avec les formules usuelles de dérivées et tu remplaces ensuite x,y,z par 1,1,1 dans les résultats.

    Tu trouves bien sûr les même résultats qu'avec la définition

    1. Conséquence

    Tu utilises les valeurs trouvées à la question 1 ).
    Vu ue les 3 dérivées partielles existent en (1,1,1), la différentielle en (1,1,1) existe.
    La différentielle de fff au point (1,1,1) est :
    df(1,1,1)=(1)dx+(1)dy+(−2)dzdf(1,1,1) =(1) dx+(1)dy+(-2)dzdf(1,1,1)=(1)dx+(1)dy+(2)dz
    df(1,1,1)=dx+dy−2dz\boxed{df(1,1,1)= dx+dy-2dz}df(1,1,1)=dx+dy2dz

    Au point (0,0,0)(0,0,0)(0,0,0), z=0z=0z=0 donc tu dois utiliser la seconde expression de f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z).

    Tu peux prouver la non continuité fff en (0,0,0)(0,0,0)(0,0,0) donc fff non différentiable.
    Ou bien , pour rester dans l'esprit de l'exercice, tu peux chercher les dérivées partielles en (0,0,0).
    Pour δfδz(0,0,0)\dfrac{\delta f}{\delta z}(0,0,0)δzδf(0,0,0), tu dois trouver ±∞\pm \infty± donc pas de dérivée partielle, donc fff non différentiable en (0,0,0)

    Bonnes réflexions.


  • medou coulibaly

    @mtschoon Screenshot_20240201_134048_OneDrive.jpg
    Bonjour Madame voici l'énoncé


  • mtschoon

    @medou-coulibaly , bonjour,

    Tu n'avais pas fait d'erreur de copie.
    C'est l'énoncé qui n'est pas très explicite à mon goût.
    Il faut faire la déduction soi-même.
    donc, il faut comprendre f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0f(x,y,z)=0 pour z=0z=0z=0


  • medou coulibaly

    @mtschoon Bonjour madame j'ai du mal à comprendre la définition de la différentielle et son théorème


  • mtschoon

    @medou-coulibaly ,

    Ce que je t'écris n'est guère correct, mais tant pis...
    Si ça peut te permettre de comprendre, c'est l'essentiel...

    Au voisinage du point (1,1,1) dans ton exercice, df représente une petite variation de fff, en fonction de dx (petite variation de x), de dy (petite variation de y) et dz (petite variation de z)

    C'est la généralisation de ce que tu avais vu en Première/terminale pour les fonctions à une variable xxx (de RRR vers RRR).

    je te conseille de consulter cette vidéo:
    https://www.youtube.com/watch?v=VkylRwE0XMM


  • medou coulibaly

    @mtschoon ok merci beaucoup madame j'ai repris et je me retrouve madame merci beaucoup à vous 🙏


  • mtschoon

    De rien @medou-coulibaly .
    Si maintenant c'est clair pour toi, c'est parfait.


  • medou coulibaly

    @mtschoon
    Merci beaucoup madame j'ai consulté la vidéo ça va , maintenant j'ai fait un nouveau poste dont j'ai de difficultés


  • mtschoon

    OK @medou-coulibaly .
    je pense qu'il s'agit de calcul d'un volume; Black-Jack a commencé à te répondre.


  • medou coulibaly

    @mtschoon oui


Se connecter pour répondre