Dérivées partielles et différentielles d'une fonction

Bonsoir je bloque sur cet exercice, après plusieurs tentatives, je n'y arrive pas à trouver une issue.
Soit f : (x,y,z) ==> { f (x,y,z) = xy/z^2 lorsque z ≠ 0 , f( x,y,z ) = 0
1/
Calculer les 3 dérivées partielles de f dans la base canonique de ℝ³ au point (1,1,1)
2 ) Montrer ensuite que f est différentiable en (1,1,1) , f est-elle différentiable en ( 0,0,0 )

@medou-coulibaly Bonsoir,

Pour le calcul de la dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ , tu considères que $y$ et $z$ sont des constantes.
Même principe pour les autres dérivées partielles.

Si tu as compris les exercices précédents, tu es capable de calculer les dérivées partielles.
Indique tes calculs.

@Noemi Bonsoir Monsieur
Regarde cette définition il s'agit ? J'ai des difficultés à l'appliquer

@medou-coulibaly
∂xf( y, z ) = y / yz^2
∂yf ( x, z ) = x/ z^2
∂zf( x, y ) = xy / 2zy
vérifiez svp

@medou-coulibaly

Attention à l'écriture, c'est $f (x, y, z)$
Vérifie la première et la troisième.

@Noemi
∂xf( x,y, z ) = y / yz^2
∂xf ( x,y, z ) = x/ z^2
∂xf( x, y, z ) = xy / 2zy
Bonjour revérifier

@medou-coulibaly

Re vérifie.
Si $x$ est la variable et $a$ une constante :
La dérivée de $a x$ est $a$
La dérivée de $ax2\dfrac{a}{x^2}$ est $−2ax3-\dfrac{2a}{x^3}$

Tu calcules ensuite la valeur de ces dérivées au point de coordonnée $(1; 1; 1)$ .

$δfδx=yz2\frac{\delta f}{\delta x} = \frac{y}{z^2}$ ... si z est différent de 0

et donc en (1 ; 1 ; 1), $δfδx=1\frac{\delta f}{\delta x} = 1$

$δfδy=...\frac{\delta f}{\delta y} = ...$ et donc en (1 ; 1 ; 1), $δfδy=...\frac{\delta f}{\delta y} = ...$

$δfδz=...\frac{\delta f}{\delta z} = ...$ et donc en (1 ; 1 ; 1), $δfδz=...\frac{\delta f}{\delta z} = ...$

Attention, pour la dérivée en (0;0;0) il faut réfléchir un peu ...

@Black-Jack
Non jusque-là je ne comprends pas cette affaire de dérivées partielles
Pour moi ∂f/∂y = x/z^2 puisque je dérive y en laissant x et z constant
Noemi si je veux bien comprendre si la dérivée de ax = a et aussi la dérivée de a/x^2 = - 2a / x^3
Alors ce que Black Jack a fait disant que ∂f/∂x = xy/z^2 = xy^2/ (z^2)^2 = xy^2/z^4 = x/z^2 d'où ∂f/∂x = x / z^2.
Je m'arrête là, personnellement j'ai des difficultés à m'ensortir car je ne me retrouve pas

@medou-coulibaly

La deuxième est juste, donc applique le même raisonnement pour les deux autres.

@Noemi cela est dû à quoi ?Screenshot_20240206_180105_Phoenix.jpg

@medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

@Black-Jack
Non jusque-là je ne comprends pas cette affaire de dérivées partielles
Pour moi ∂f/∂y = x/z^2 puisque je dérive y en laissant x et z constant
Noemi si je veux bien comprendre si la dérivée de ax = a et aussi la dérivée de a/x^2 = - 2a / x^3
Alors ce que Black Jack a fait disant que ∂f/∂x = xy/z^2 = xy^2/ (z^2)^2 = xy^2/z^4 = x/z^2 d'où ∂f/∂x = x / z^2.
Je m'arrête là, personnellement j'ai des difficultés à m'ensortir car je ne me retrouve pas

Bonjour,

Je n'ai JAMAIS écrit les absurdités que tu me prêtes.
Je n'ai pas écrit :
"∂f/∂x = xy/z^2 = xy^2/ (z^2)^2 = xy^2/z^4 = x/z^2 d'où ∂f/∂x = x / z^2."

mais bien ∂f/∂x = y/z² (si z est différent de 0) ... ce qui est correct.

Tu as écrit : ∂xf( x,y, z ) = y / yz^2 ... ce qui est faux.

∂f/∂y = x/z^2 est exact ... si z est différent de 0

et ta dérivée partielle de f par rapport à z est fausse.

@Black-Jack
Ce qui est là aussi n'est pas mon écriture lisez bien ce que j'ai écrit, ne dites pas ce que j'ai pas écrit.
Je sais que je ne maîtrise pas bien l'exercice mais faites attention à ce que j'ai pas écrit

@Black-Jack
Si celle-ci alors j'avais déjà cela bien avant aujourd'hui

@medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

@Black-Jack
Ce qui est là aussi n'est pas mon écriture lisez bien ce que j'ai écrit, ne dites pas ce que j'ai pas écrit.
Je sais que je ne maîtrise pas bien l'exercice mais faites attention à ce que j'ai pas écrit

J'ai fais un "copier-coler" de ce que tu as écrit dans ton message et que je refais ici :

∂xf( x,y, z ) = y / yz^2
∂xf ( x,y, z ) = x/ z^2
∂xf( x, y, z ) = xy / 2zy

Et tu as bel et bien écrit ∂xf( x,y, z ) = y / yz^2 comme je l'ai mentionné.

Par contre, ce que tu as copié comme étant ma réponse ne correspond pas du tout à ce que j'ai écrit.

Pour f (x,y,z) = xy/z^2 si z est différent de 0.

f (x,y,z) = xy*z^-2
On a aussi (si z est différent de 0) : ∂f/∂z = xy * (-2)*z^(-3)

soit : ∂f/∂z = -2xy/z³ ... ce n'est pas non plus ce que tu as écrit.

@medou-coulibaly si cela est vrai que pour dériver partiellement qu'il faut tenir compte des constantes et en dérivant dans l'ordre des variables alors vérifié cela

@medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

@medou-coulibaly si cela est vrai que pour dériver partiellement qu'il faut tenir compte des constantes et en dérivant dans l'ordre des variables alors vérifié cela

Aie aie aie.

La dérivée d'un quotient n'est pas le quotient des dérivées.

Voir mon message précédent.

@Black-Jack
Je sais ici que la fonction de la forme U/V avec V^2

@Black-Jack
Dans ma photo sur-soulignée par vous , vous dîtes que j'ai écrit y/yz^2

@Black-Jack je préfère abandonner l'exercice c'est mieux.Merci

@medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

@Black-Jack
Je sais ici que la fonction de la forme U/V avec V^2

Et bien alors, il suffit de dériver correctement :

Pour une dérivée partielle par rapport à z, x et y sont considérés comme des constantes.

Quelle est la dérivée par rapport à z de f(z) = A/z² (avec A = x.y = constante) ?

f '(z) = A * -(z²)'/z^4 = A * -2z/z^4 = -2A/z³
et comme A = xy ---> f'(z) = -2xy/z³

Mais dans un tel cas, on n'utilise pas la notation f '(z), on ecrit :

∂f/∂z = -2xy/z³

@medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

@Black-Jack
Dans ma photo sur-soulignée par vous , vous dîtes que j'ai écrit y/yz^2

JE N'AI JAMAIS ECRIT CELA

@Black-Jack
Le mieux pour moi est d'abandonner l'exercice, merci à vous

@Black-Jack * signifie quoi ?

@medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

@Black-Jack * signifie quoi ?

Bonjour,

C'est un symbole de "multiplication" très souvent employé.

Pour écrire par exemple "a fois b", on peut écrire tout ce qui suit :
$a * b$
$a . b$
$\times b$
$a b$

Chacune de ces écritures ayant des avantages et des inconvénients.

Le point dans l'écriture $a . b$ peut parfois être confondu avec le point qui sépare la partie entière et décimale d'un nombre (1 fois 2, si on écrit 1.2 il y a risque de confusion)
Avec $\times b$ , on peut confondre le signe $×\times$ avec la variable X
...
''''''''''''''''''''''''''''''
Je réécris en utilisant Latex

Quelle est la dérivée par rapport à z de $\frac{A}{z^2}$ (avec A = x.y = constante) ?

$\times \frac{-(z^2)'}{z^4} = A \times \frac{-2z}{z^4} = -\frac{2A}{z^3}$
et comme $\to f'(z) = -\frac{2xy}{z^3}$

Mais dans un tel cas, on n'utilise pas la notation f '(z), on ecrit :

$∂f∂z=−2xyz3\frac{∂f}{∂z} = -\frac{2xy}{z^3}$

@Black-Jack Bonjour j'ai compris cela merci beaucoup à vous maintenant je vais passer au ( 1 , 1 ,1 )

@Black-Jack

@medou-coulibaly

Attention au suite d'égale que tu écris.
$∂f∂y(x,y,z)=xz2\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=\dfrac{x}{z^2}$

$∂f∂y(1,1,1)=112=1\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1,1)=\dfrac{1}{1^2}=1$

$∂f∂z(x,y,z)=−2xyz3\dfrac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=\dfrac{-2xy}{z^3}$
et
$∂f∂z(1,1,1)=−2\dfrac{\partial f}{\partial z}(1,1,1)=-2$

@Noemi ok d'accord merci j'ai bien compris
Pour la 2)
J'ai besoin d'une explication simplifiée de la définition et du théorème de la différentiabilité d'une fonction

@medou-coulibaly jusque-là j'ai pas encore eu de réponse pour pouvoir avancer

@medou-coulibaly Bonjour je bloque toujours sur la question et je n'arrive pas à avancer

@medou-coulibaly , bonjour,

Comme je constate que tu n'as pas de réponse à tes deux dernières questions, je regarde.

A vrai dire ce topic étant tellement long et "bizarre", je préfère partir de ton énoncé, quitte à faire des répétitions.

@medou-coulibaly a dit dans Dérivées partielles et différentielles d'une fonction :

Bonsoir je bloque sur cet exercice, après plusieurs tentatives, je n'y arrive pas à trouver une issue.
Soit f : (x,y,z) ==> { f (x,y,z) = xy/z^2 lorsque z ≠ 0 , f( x,y,z ) = 0
1/
Calculer les 3 dérivées partielles de f dans la base canonique de ℝ³ au point (1,1,1)
2 ) Montrer ensuite que f est différentiable en (1,1,1) , f est-elle différentiable en ( 0,0,0 )

Il semble manquer quelque chose dans ton énoncé.
$f(x,y,z)=xyz2f(x,y,z)=\dfrac{xy}{z^2}$ pour $z≠0\boxed{z\ne 0}$ C'est OK

Par contre , tu continue par $f (x, y, z) = 0$ ...?

Je suppose que tu as voulu écrire $f (x, y, z) = 0$ pour $z=0\boxed{z=0}$
Vérifie.

Pour la 1 ), on te demande de calculer les 3 dérivées partielles au point (1,1,1).
Tu as deux façons possibles, mais il faut savoir l'esprit de la question.

@medou-coulibaly

Première façon : utiliser la définition

J'utilise les notations dont j'ai l'habitude.

a) dérivée partielle de f par rapport à $x$ au point (1,1,1)
$f(1,1,1)=1×112=1f(1,1,1)=\dfrac{1\times 1}{1^2}=1$
$f(1+h,1,1)=(1+h)(1)12=1+hf(1+h,1,1)=\dfrac{(1+h)(1)}{1^2}=1+h$

$δfδx(1,1,1)=lim⁡h→0f(1+h,1,1)−f(1,1,1)h\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta x}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1+h,1,1)-f(1,1,1)}{h}$

$δfδx(1,1,1)=lim⁡h→01+h+1h=lim⁡h→0hh=1\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta x}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{1+h+1}{h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{h}{h}=\boxed{1}$

b) dérivée partielle de f par rapport à $y$ au point (1,1,1)
$f (1, 1, 1) = 1$
$f(1,1+h,1)=(1)(1+h)12=1+hf(1,1+h,1)=\dfrac{(1)(1+h)}{1^2}=1+h$

Comme ci-dessus, , tu trouves
$δfδy(1,1,1)=lim⁡h→0f(1,1+h,1)−f(1,1,1)h=1\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta y}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1,1+h,1)-f(1,1,1)}{h}=\boxed{1}$

c) dérivée partielle de f par rapport à $z$ au point (1,1,1)
$f (1, 1, 1) = 1$
$f(1,1,1+h)=(1)(1)(1+h)2=1(1+h)2f(1,1,1+h)=\dfrac{(1)(1)}{(1+h)^2}=\dfrac{1}{(1+h)^2}$

$δfδz(1,1,1)=lim⁡h→0f(1,1,1+h)−f(1,1,1)h\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta z}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(1,1,1+h)-f(1,1,1)}{h}$

$δfδz(1,1,1)=lim⁡h→01(1+h)2−1h\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta z}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{1}{(1+h)^2}-1}{h}$

$δfδz(1,1,1)=lim⁡h→0=1−(1+h)2(1+h)2×1h\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta z}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}=\dfrac{1-(1+h)^2}{(1+h)^2}\times \dfrac{1}{h}$

Tu développes le numérateur avec $1+h)^2=1+2h+h^2$ et tu simplifies

Tu dois trouver :
$δfδz(1,1,1)=lim⁡h→0−h2−2h(1+h)2h=lim⁡h→0h(−h−2)(1+h)2h\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta z}(1,1,1)=\lim_{h\to 0}\dfrac{-h^2-2h}{(1+h)^2h}=\lim_{h\to 0}\dfrac{h(-h-2)}{(1+h)^2h}$

Tu simplifies par $h$ non nul, tu fais tendre $h$ vers $0$ et tu trouves :
$δfδz(1,1,1)=−2\displaystyle \dfrac{\delta f}{\delta z}(1,1,1)=\boxed{-2}$

@medou-coulibaly

Seconde façon (qui a été vu au cours des réponses précédentes, je crois, donc je ne refais pas)

Tu calcules les 3 dérivées partielles à un point (x,y,z) avec les formules usuelles de dérivées et tu remplaces ensuite x,y,z par 1,1,1 dans les résultats.

Tu trouves bien sûr les même résultats qu'avec la définition

Conséquence

Tu utilises les valeurs trouvées à la question 1 ).
Vu ue les 3 dérivées partielles existent en (1,1,1), la différentielle en (1,1,1) existe.
La différentielle de $f$ au point (1,1,1) est :
$d f (1, 1, 1) = (1) d x + (1) d y + (- 2) d z$
$df(1,1,1)=dx+dy−2dz\boxed{df(1,1,1)= dx+dy-2dz}$

Au point $(0, 0, 0)$ , $z = 0$ donc tu dois utiliser la seconde expression de $f (x, y, z)$ .

Tu peux prouver la non continuité $f$ en $(0, 0, 0)$ donc $f$ non différentiable.
Ou bien , pour rester dans l'esprit de l'exercice, tu peux chercher les dérivées partielles en (0,0,0).
Pour $δfδz(0,0,0)\dfrac{\delta f}{\delta z}(0,0,0)$ , tu dois trouver $±∞\pm \infty$ donc pas de dérivée partielle, donc $f$ non différentiable en (0,0,0)

Bonnes réflexions.

@mtschoon
Bonjour Madame voici l'énoncé

@medou-coulibaly , bonjour,

Tu n'avais pas fait d'erreur de copie.
C'est l'énoncé qui n'est pas très explicite à mon goût.
Il faut faire la déduction soi-même.
donc, il faut comprendre $f (x, y, z) = 0$ pour $z = 0$

@mtschoon Bonjour madame j'ai du mal à comprendre la définition de la différentielle et son théorème

@medou-coulibaly ,

Ce que je t'écris n'est guère correct, mais tant pis...
Si ça peut te permettre de comprendre, c'est l'essentiel...

Au voisinage du point (1,1,1) dans ton exercice, df représente une petite variation de $f$ , en fonction de dx (petite variation de x), de dy (petite variation de y) et dz (petite variation de z)

C'est la généralisation de ce que tu avais vu en Première/terminale pour les fonctions à une variable $x$ (de $R$ vers $R$ ).

je te conseille de consulter cette vidéo:
https://www.youtube.com/watch?v=VkylRwE0XMM

@mtschoon ok merci beaucoup madame j'ai repris et je me retrouve madame merci beaucoup à vous

De rien @medou-coulibaly .
Si maintenant c'est clair pour toi, c'est parfait.

@mtschoon
Merci beaucoup madame j'ai consulté la vidéo ça va , maintenant j'ai fait un nouveau poste dont j'ai de difficultés

OK @medou-coulibaly .
je pense qu'il s'agit de calcul d'un volume; Black-Jack a commencé à te répondre.

@mtschoon oui