Ecrire sans les valeurs absolues

Bonjour je bloque sur cet exercice j'ai besoin de votre aide.
Soit f(θ) = | cos²θ - sin²θ | pour θ ∈ ] - π , π [. Ecrire sans les valeurs absolues

@medou-coulibaly Bonjour,

Commence par écrire l'expression en fonction de $cosθcos\theta$ , puis factorise l'expression, puis tableau de signes, puis .....

@Noemi j'ai du mal a exprimé en fonction de cosθ

@Noemi je pense que | cos²θ - sin²θ | devient cos²θ - sin²θ = 0

Bonjour,

@medou-coulibaly

@medou-coulibaly a dit dans Ecrire sans les valeurs absolues :

@Noemi je pense que | cos²θ - sin²θ | devient cos²θ - sin²θ = 0

Ce que tu indiques n'est pas bon.

Si tu souhaites transformer en $cosθcos\theta$ , pense que $cos2θ+sin2θ=1cos^2\theta+sin^2 \theta=1$ donc $sin2θ=1−cos2θsin^2\theta=1-cos^2\theta$

Tu trouves donc que :
$cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1cos^2\theta-sin^2\theta=2cos^2\theta-1$

@mtschoon ok mais Néomi dit de factoriser
2cos^2-1 = cosθ ( 2cosθ - 1/cosθ )

Bonjour,

L'énoncé n'est pas très directif et donc on pourrait faire ceci, sans l'ombre d'un calcul :

$∣cos⁡2(θ)−sin2(θ)∣=(cos⁡2(θ)−sin2(θ))2|\cos^2(\theta) - sin^2(\theta)| = \sqrt{( \cos^2(\theta) - sin^2(\theta) )^2}$

Ce n'est peut être pas ce que le prof attend ... cependant, cela répond entièrement à l'énoncé posé.

@Black-Jack Bonjour monsieur, je ne comprends pas bien votre méthode

@medou-coulibaly

$2cos2(x)−1=2(cos2(x)−12)2cos^2(x)-1= 2(cos^2(x)-\dfrac{1}{2})$
en utilisant une identité remarquable :
....

@Noemi Bonsoir je pense que
2cos^2(θ) -1 factorisé est : 2(cos^2θ -1/2)

@medou-coulibaly

Tu peux factoriser le terme entre parenthèses.

@Noemi je trouve ( cos(θ) - 1 )(cos(θ) + 1 )

@medou-coulibaly a dit dans Ecrire sans les valeurs absolues :

@Black-Jack Bonjour monsieur, je ne comprends pas bien votre méthode

Bonjour,

Méthode évidente.

Soit f(x) une fonction qui peut être aussi bien positive que négative.
|f(x)| = f(x) pour les valeurs de x telles que f(x) >= 0
|f(x)| = -f(x) pour les valeurs de x telles que f(x) <= 0

Donc : |f(x)|² = (f(x))² >= 0 pour tout x du domaine de définition.

--> $\sqrt{(f(x))^2}$ ... quelle que soit f(x)

La relation donnée dans mon message précédent est correcte pour toutes valeurs de x et donc aussi sur ]-Pi ; Pi[

Le membre de droite est bien écrit sans utilisation de valeurs absolues ... et est égal au membre de gauche. Cette relation répond donc parfaitement à l'énoncé.

Qu'est ce que tu ne comprends pas la dedans ?

Un exemple simpliste :

Soit g(x) = |x| pour x dans R
Ecrire g(x) sans les valeurs absolues ...

Ma réponse donne alors : $\sqrt{x^2}$ ... qui est bien g(x) écrit sans utiliser des valeurs absolues.

Et on a bien $\sqrt{x^2}$ sur R

C'est évident ...

C'est cette même "méthode" qui a été utilisée avec ma réponse initiale.
'''''''''''''''''''''''

Je ne sais pas si c'est cela qui est attendu par ton prof ... mais cette façon de faire répond exactement à l'énoncé tel qu'il est posé.

@Noemi j'ai du mal à faire mon tableau de signe car mes valeurs ne tombent pas sur ce que je recherche

@Black-Jack je suis là lire votre message je vais vous revenir

@medou-coulibaly

$(cos(θ)−1)(cos(θ)+1)=cos2(θ)−1(cos(\theta)-1)(cos(\theta)+1)= cos^2(\theta)-1$
et non à $cos2(θ)−12cos^2(\theta)-\dfrac{1}{2}$

$cos2(θ)−12=(cos(θ)−22)(cos(θ)+22)cos^2(\theta)-\dfrac{1}{2}=(cos(\theta)-\dfrac{\sqrt2}{2})(cos(\theta)+\dfrac{\sqrt2}{2})$

@Noemi ok (cos θ - √2/2)(cosθ + √2/2 ) = 0

cos θ - √2/2 = 0 ou cosθ + √2/2 = 0
cos θ = √2/2 ou cosθ = - √2/2

@medou-coulibaly

Résous ces équations et fait un tableau de signes.

Bonjour,

Ne pas lire avant d'avoir complété la piste donnée par Noemi.

$f(x) = |cos^2(x) - sin^2(x)| = |cos(2x)|$ sur [-Pi ; Pi]

cos(2x) >= 0 pour x dans [-Pi/2 ; Pi/2] mod (2Pi)
Donc : cos(2x) >= 0 pour x dans [-Pi/4 ; Pi/4] mod (Pi)

D'où on tire directement :
cos(2x) >= 0 pour x compris dans $[−π;−3π4]U[−π4;π4]U[3π4;π][-\pi ; -\frac{3\pi}{4}] U [-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}] U [\frac{3\pi}{4} ; \pi]$

cos(2x) <= 0 pour x compris dans $[−3π4;−π4]U[π4;3π4][-\frac{3\pi}{4} ; -\frac{\pi}{4}] U [\frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4}]$

Une écriture possible de f(x) est :

f(x) = cos(2x) pour x compris dans $[3π4;π][-\pi ; -\frac{3\pi}{4}]\ U\ [-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}]\ U\ [\frac{3\pi}{4} ; \pi]$
f(x) = -cos(2x) pour x compris dans $]π4;3π4[]-\frac{3\pi}{4} ; -\frac{\pi}{4}[\ U\ ]\frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4}[$

Et on remarquera, en passant, qu'écrire $\sqrt{cos^2(2x)}$ ... sans avoir besoin de précision sur le domaine, répond à la question telle que posée dans l'énoncé.

@Noemi Bonjour vérifier mon tableau de signe

@Black-Jack Bonjour j'ai lu votre message et j'ai vu le théorème dans mon livre de seconde

@medou-coulibaly

Tableau de signes à revoir.
Regarde ce cours : https://www.maths-et-tiques.fr/telech/TrigoTS.pdf

Bonjour tout le monde,

@medou-coulibaly , le tableau que tu proposes (sur fond bleu) est à revoir.
Tu confonds $θ\theta$ avec $cos⁡θ\cos\theta$

Sur la ligne horizontale supérieure , ce sont des valeurs de $θ\theta$ qui doivent être indiquées (mets $θ\theta$ au lieu de $x$ ), non des valeurs de $cosθcos\theta$

Tu dois chercher les valeurs de $θ\theta$ , comprises entre - $π\pi$ et $π\pi$ , telles que $cosθ−22=0cos\theta-\dfrac{\sqrt 2}{2}=0$ et celles telles que $cosθ+22=0cos\theta+\dfrac{\sqrt 2}{2}=0$
Ce sont ces valeurs qui doivent être indiquées sur la ligne horizontale supérieure relative à $θ\theta$

Ensuite, bien sûr, il faut trouver les signes exacts à mettre dans les cases

@medou-coulibaly ,

Si ça peut t'aider, je te poins le cercle trigonométrique qu'il faudra compléter avec les angles correspondants aux points C,D,E

@mtschoon Bonjour madame je mélange dans cet exercice c'est quoi vous voulez dire par là, la valeur de cosinus ?

@mtschoon oui je maîtrise un peu bien le cercle trigonométrie .
cosθ-√2/2 = 0 <==> cosθ = √2/2 ???
Là je bloque
mais je sais que cosθ =√2/2 <==> cosθ =cos π/4 donc je avoir θ = π/4
je bloque vraiment .....

@medou-coulibaly

As-tu regardé le lien que j'ai indiqué ?

@medou-coulibaly ,

Regarde le lien donné par @Noemi

Tu peux aussi regarder le cercle trigonométrique que je t'ai dessiné.

Pour $cosθ=22cos\theta=\dfrac{\sqrt 2}{2}$ , il ya deux points associés sur le cercle trigonométrique .
Il y a $B$ qui correspond à l'angle dont une mesure est $θ=π4\theta=\dfrac{\pi}{4}$
Il y a aussi le point $E$ .
Indique la valeur d'angle $θ\theta$ correspondante (comprise entre $−π-\pi$ et $π\pi$ )

Pour $cosθ=−22cos\theta=-\dfrac{\sqrt 2}{2}$ , il ya deux points associés sur le cercle trigonométrique .
Ce sont les points $C$ et $D$
Trouve les valeurs de $θ\theta$ associées ( toujours comprises entre $−π-\pi$ et $π\pi$ )

Bien sûr, ce serait plus rapide de te les donner, mais cela ne te servirait à rien si ce n'est pas toi qui les trouve...

@Noemi je vais consulter

@mtschoon mes valeurs ne tombent pas lorsque je remplace θ par sa valeur

@medou-coulibaly

Regarde cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=NIz3o4jKZnM
et ce cours : https://www.kartable.fr/ressources/mathematiques/methode/resoudre-une-equation-trigonometrique-du-type-cos-x-a/3519

@medou-coulibaly

Tu as sur le cercle trigonométrique quatre points A,B,C,D qui conviennent. (si tu as compris le cercle trigonométrique)
Donc dans ton tableau de signes , tu dois avoir quatre valeurs de $θ\theta$ sur la ligne horizontale supérieure.

Tu en as écris deux $θ=π4\theta=\dfrac{\pi}{4}$ et $θ=3π4\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ qui correspondent aux points B et C
Elles conviennent (forcément !):
$cosπ4=22cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt 2}{2}$ <=> $cosπ4−22=0cos\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\sqrt 2}{2}=0$
$cos3π4=−22cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt 2}{2}$ <=> $cos3π4+22=0cos\dfrac{3\pi}{4}+\dfrac{\sqrt 2}{2}=0$

Il te reste à donner les valeurs de $θ\theta$ (toujours entre $−π-\pi$ et $π\pi$ ) qui correspondent aux points D et E

@mtschoon les valeurs de θ moi je comprends pas cela

Bonjour,
@medou-coulibaly , ta difficulté c'est que tu ne sembles pas avoir les bases de trigonométrie de lycée , première en principe (fonctionnement des mesures des angles orientés en radians, positionnement sur le cercle trigonométrique, cosinus, sinus,...)

Si tu as encore tes cours de lycée, essaie de les consulter, car les liens proposés ne semblent pas te servir.

Lorsque j'aurais un peu de temps, j'essaierai de t'expliciter un peu l'usage du cercle trigonométrique (mais on ne peut pas faire un cours détaillé sur un forum...)

Bon courage !

@mtschoon Bonjour madame , j'ai compris.

@medou-coulibaly , tu as compris quoi?
Merci de l'indiquer.

A tout hasard je te mets un lien sur l'utilisation du cercle trigonométrique. Consulte le vraiment.
https://www.youtube.com/watch?v=ECNX9hnhG9U

Ensuite, indique ( si tu y arrives) les deux valeurs manquantes pour $θ\theta$ dans ton tableau de signes.

Rappel : Dans ton exercice, la variable ne s'appelle pas $x$ , elle s'appelle $θ\theta$

@mtschoon ok merci beaucoup madame je vais pour revenir dessus, j'ai posté un DM que je bloque dessus

@medou-coulibaly , bonsoir,

Je te conseille de la rigueur pour progresser.

Tu devrais approfondir les bases de la trigonométrie (consulter la video proposée sur le cercle trigonométrique) et terminer cet exercice avant d'en commencer un autre.

Propose au moins les 4 valeurs de $θ\theta$ ( mesures principles des angles ) que tu dois mettre dans le tableau de signes

@mtschoon Bonjour madame , j'ai compris.L'autre exercice est un DM à déposer le mardi donc , j'ai du le posté vu que je rencontre des difficultés dessus

@medou-coulibaly , bonjour,
Je ne sais pas trop ce que tu as compris...
Je te mets le cercle trigonométrique complété avec les valeurs particulières nécessaires.

@medou-coulibaly ,

je te mets le tabeau de signes, que tu dois trouver.
Ensuite, suivant le signes de l'expression $cos2θ−12cos^2\theta-\dfrac{1}{2}$ , il te reste à donner les écritures simplifiées (sans symboles de valeurs absolues) de $∣cos2θ−12∣|cos^2\theta-\dfrac{1}{2}|$

@mtschoon Bonjour madame j'ai compris merci
Maintenant je dois remplacer les valeurs de cos^2θ + sin^2θ ?
c'est à dire je dois calculer avec une machine ?

@medou-coulibaly , bonjour,

@medou-coulibaly a dit dans Ecrire sans les valeurs absolues :

@mtschoon Bonjour madame j'ai compris merci
Maintenant je dois remplacer les valeurs de cos^2θ + sin^2θ ?
c'est à dire je dois calculer avec une machine ?

Je ne comprends pas de quoi tu parles....

Je te rappelle que $cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1cos^2\theta-sin^2\theta=2cos^2\theta-1$

1er cas :
Pour $θ∈]−π,−3π4]∪[−π4,π4]∪[3π4,π[\boxed{\theta \in ]-\pi,-\dfrac{3\pi}{4}]\cup [-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}]\cup [\dfrac{3\pi}{4},\pi[}$ , l'expression $2cos2θ−12cos^2\theta-1$ est positive donc :

$∣cos2θ−sin2θ∣=∣2cos2θ−1∣=cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1|cos^2\theta-sin^2\theta|=|2cos^2\theta-1|=\boxed{cos^2\theta-sin^2\theta}=\boxed{2cos^2\theta-1}$

2ème cas :
Pour $θ∈]−3π4,−π4]∪[π4,3π4]\boxed{\theta\in ]-\dfrac{3\pi}{4},-\dfrac{\pi}{4}]\cup[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}]}$ , l'expression $2cos2θ−12cos^2\theta-1$ est négative donc :

$∣cos2θ−sin2θ∣=∣2cos2θ−1∣=−(cos2θ−sin2θ)=−(2cos2θ−1)|cos^2\theta-sin^2\theta|=|2cos^2\theta-1|=-(cos^2\theta-sin^2\theta)=-(2cos^2\theta-1)$
c'est à dire :
$∣cos2θ−sin2θ∣=∣2cos2θ−1∣=−cos2θ+sin2θ|cos^2\theta-sin^2\theta|=|2cos^2\theta-1|=\boxed{-cos^2\theta+sin^2\theta }$ = $−2cos2θ+1\boxed{-2cos^2\theta+1}$

@mtschoon J'ai compris je vais bien reprendre

OK @medou-coulibaly

@mtschoon Bonsoir Madame jai repris et cest juste.

C'est très bien @medou-coulibaly