Ellipse : démonstration

[-lala-o]

Bonjour, je n'arrive pas à finir cet exercice :
"La normale en un point M de l'ellipse $E=b^2{x}^2+a^2{y}^2-a^2{b}^2=0$ coupe l'axe x en Q. Démontrer que le produit $d(M,Q)$ par la distance à la tangente en M est constant."

[Black-Jack]

@lala-o a dit dans Ellipse : démonstration :

Démontrer que le produit d(M,Q)d(M,Q)d(M,Q) par la distance à la tangente en M est constant."

Bonjour,

Je ne comprends pas les notations utilisées dans ta phrase :
"Démontrer que le produit d(M,Q) par la distance à la tangente en M est constant".

Je peux aider jusqu'à déterminer la position du point Q et calculer si on en a besoin la distance |MQ|

L'équation de la tangente à l'ellipse au point se coordonnées (xo,yo) (avec bien entendu : xo²/a² + yo²/b² = 1) est :

x.xo/a² + y.yo/b² = 1
qui peut s'écrire : y = -b²/a² * xo/yo * x + b²/yo²
Le coeff directeur de la normale au point M(xo,yo) est donc m = a².yo/(b².xo)

Eq de la normale : y = a².yo/(b².xo) * x + k
elle passe par le point (xo ; yo) et donc : yo = a².yo/(b².xo) * xo + k
1 = a²/b² + k
k = (b²-a²)/b²

Eq de la normale : y = a².yo/(b².xo) * x + (b²-a²)/b²

Elle coupe l'axe des x pour a².yo/(b².xo) * x + (b²-a²)/b² = 0
xQ = (a²-b²).xo/(a².yo)

Q( (a²-b²).xo/(a².yo) ; 0)
M(xo ; yo)

|QM|² = ...
|QM| = ...