DM de développement limité et de voisinage d'une fonction

Bonjour , j'ai un DM que je rencontre des difficultés.
j'ai besoin d'aide pour cet exercice
On considère la fonction définie de ℝ² dans ℝ par f(x, y) = ( f₁(x, y) , f₂(x, y) ) avec
f₂(x, y) = x et f₂ (x,y) = { ( y ^3 - yx^2 ) / ( x^4 + y^2)
si ( x, y ) ≠ ( 0 , 0 )
0 si ( x , y ) = ( 0 , 0 )
1.a) Montrer que pour tout (x, y) ≠ (0,0)
| f₂(x, y) - y | ≤ x^2
(b) Donner le développement de Taylor de f₂ à l'ordre 1 au voisinage de (0, 0) et donner sa différentielle
2. a) Calculer f₂( x , x^2 ) et f₂( x , - x^2 ). En déduire qu'il n'existe pas de voisinage de (0,0) ou la restriction de f est injective.
b) La fonction f est-elle de classe C¹ au voisinage de (0, 0) ?. Justifier.

@medou-coulibaly Bonjour,

As-tu terminé l'autre exercice ?

Vérifie l'énoncé, le numérateur de $f_2(x,y)$ .
Indique tes calculs :
$f_2(x,y)-y = .....$

@Noemi l'autre exercice non pas encore terminé, puisque j'ai des difficultés avec le cercle trigonométrique , Mtschoon m'a envoyé lien d'une vidéo je vais consulter cela après je vais revenir dessus.

@Noemi

@medou-coulibaly

Attention, il ne faut pas oublier les valeurs absolues.
A partir de :
$∣−2yx4x4+y2∣≤x2\vert \dfrac{-2yx^4}{x^4+y^2}\vert \leq x^2$
tu étudies 2 cas
soit $y≥0y\geq 0$
soit $y<0y\lt0$

Pense aux identités remarquables.

@Noemi Bonjour mais lorsqu'on a | a/b | ≤ c <=> (a/b)^2 - c ^2 ≤ 0
y≥0
y<0 oui je suis daccords à cause de la valeur absolue

@Noemi Bonjour je pense qu'avec ce que j'ai indiquer je dois faire (-2yx^4/x^4+y^2) ^2 - (x^2)^2 .....

@medou-coulibaly

$∣−2yx4x4+y2∣≤x2\vert \dfrac{-2yx^4}{x^4+y^2}\vert \leq x^2$
tu étudies 2 cas
soit $y≥0y\geq 0$
cela donne
$2yx4≤x2(x4+y2)2yx^4\leq x^2(x^4+y^2)$
soit
$x4+y2−2yx2≥0x^4+y^2- 2yx^2\geq 0$
$(x2−y)2≥0(x^2-y)^2\geq 0$
...
soit $y<0y\lt0$
....

@Noemi (x^2-y)^2 ≥ 0
x^4-2x^2y+y^2 ≥ 0 c'est ce que je trouve

@medou-coulibaly

il n'est pas demandé de développer, j'ai indiqué le résultat de la factorisation.
Il reste à conclure et à faire l'autre cas.

@Noemi ok d'accord.
Comment on conclut cela

| -2x^4y/x^4+y^2| ≤ x^2
y<0
2x^4y < x^2( x^4+y^2)
x^4 +y^2−2yx^2 < 0
(x^2-y)^2 < 0

@medou-coulibaly

L'écriture des deux dernières lignes est fausse. Rectifie.

Pour la conclusion, tu dois savoir qu'un terme au carré est toujours .....

@Noemi (x^2-y)^2 > 0

@medou-coulibaly

$∣−2yx4x4+y2∣≤x2\vert \dfrac{-2yx^4}{x^4+y^2}\vert \leq x^2$

soit pour $y<0y\lt 0$
cela donne
$−2yx4≤x2(x4+y2)-2yx^4\leq x^2(x^4+y^2)$
soit
$x4+y2+2yx2≥0x^4+y^2+ 2yx^2\geq 0$
$(x2+y)2≥0(x^2+y)^2\geq 0$
...

@Noemi ok Comment on conclut les deux cas ?

@medou-coulibaly

J'ai déjà indiqué :
Pour la conclusion, tu dois savoir qu'un terme au carré est toujours .....
donc l'inéquation est ....

@Noemi Un terme au carré est toujours .....positive
donc l'inéquation est .... est positive

@medou-coulibaly

Un carré est toujours positif ou nul.
l'inéquation est donc vérifiée pout tout $(x, y)$ différent de $(0, 0)$ .

@Noemi OK j'ai compris

@Noemi monsieur pour la b) j'ai refaire maintenant j'ai du mal à faire le développement limité f₂ à l'ordre 1 au voisinage de ( 0,0 )

@medou-coulibaly

pour le b), utilise le résultat du a).

@Noemi mais le résultat de a est scindé en deux , pour >=0 et pour y<0

@Noemi besoin de coup de main svp pour la b )

@medou-coulibaly
Applique :
$∣x∣≤a\vert x\vert \leq a$ si et seulement si $\leq x \leq a$

@Noemi Bonjour j'ai du mal à vous comprendre sur ce point

Bonjour,

@medou-coulibaly il semble qu'il y ait un blocage. sur la question 2).
Je tente de regarder.

Remarque
Je me demande à quoi sert $f_1$ ...?. A rien on dirait...

A la question 2), il est demandé le développement de Taylor à l'ordre 1 au voisinage de (0,0)
Ce développement doit s'écrire :
$f2(x,y)=f2(0,0)+xδf2δx(0,0)+yδf2δy(0,0)+...f_2(x,y)=f_2(0,0)+x\dfrac{\delta f_2}{\delta x}(0,0)+y\dfrac{\delta f_2}{\delta y}(0,0)+...$
("..." est un "reste négligeable" que l'on note traditionnellement $o (x, y)$ )
$f2(x,y)=f2(0,0)+xδf2δx(0,0)+yδf2δy(0,0)+o(x,y)\boxed{f_2(x,y)=f_2(0,0)+x\dfrac{\delta f_2}{\delta x}(0,0)+y\dfrac{\delta f_2}{\delta y}(0,0)+o(x,y)}$
Tu pourrais bien sur calculer les deux dérivées partielles indiquées pour répondre à cette question mais la question 1) te permet d'éviter le calcul (voir l'idée de @Noemi )

Tu sais que pour tout $\ne(0,0)$ : $∣f2(x,y)−y∣≤x2|f_2(x,y)-y|\le x^2$
Pour plus de clarté tu peux écrire $0≤∣f2(x,y)−y∣≤x20\le |f_2(x,y)-y|\le x^2$

Pour x voisin de $0$ , $x^2$ est voisin de $0$ , donc $f_2(x,y)-y|$ est voisin de $0$ donc $f_2(x,y)-y$ est voisin de $0$

Tu peux écrire : $f_2(x,y)-y=0+o(x,y)$ , c'est à dire :
$f2(x,y)=y+o(x,y)\boxed{f_2(x,y)=y+o(x,y)}$
Fais la correspondance entre les deux formules encadrées :
$f_2(0,0)=0$
$δf2δx(0,0)=0\dfrac{\delta f_2}{\delta x}(0,0)=0$
$δf2δy(0,0)=1\dfrac{\delta f_2}{\delta y}(0,0)=1$

Pour t'entraîner, si tu fais les calculs :
$δf2δx(0,0)=lim⁡x→0f2(x,0)−f2(0,0)x−0\displaystyle \dfrac{\delta f_2}{\delta x}(0,0)=\lim_{x\to 0}\dfrac{f_2(x,0)-f_2(0,0)}{x-0}$
Tu trouveras $0$

$δf2δy(0,0)=lim⁡y→0f2(0,y)−f2(0,0)y−0\displaystyle \dfrac{\delta f_2}{\delta y}(0,0)=\lim_{y\to 0}\dfrac{f_2(0,y)-f_2(0,0)}{y-0}$
Tu trouveras $1$

@mtschoon
Bonjour madame
Pour l'instant j'ai compris je vais vous répondre sur ce topic , actuellement je cherche solution à l'intégrale que j'ai posté tout dernièrement, puisque l'intégrale fait partir de mon DM mais je n'ai pas encore eu de solution.

@mtschoon Bonjour, je reviens à mon poste maintenant, madame pour le développement limité de Taylor je n'ai pas compris hein

@medou-coulibaly , bonjour,

@medou-coulibaly a dit dans DM de développement limité et de voisinage d'une fonction :

@mtschoon Bonjour, je reviens à mon poste maintenant, madame pour le développement limité de Taylor je n'ai pas compris hein

@medou-coulibaly , si besoin, je te mets les formules utiles qui doivent être démontrées dans ton cours.
https://uel.unisciel.fr/physique/outils_nancy/outils_nancy_ch07/co/apprendre_02_05.html

Dans l'exercice que tu proposes ici, la difficulté de calcul des dérivées partielles en $(0, 0)$ vient du fait que la fonction a deux définitions : une pour $(x,y)≠(0,0)(x,y)\ne (0,0)$ et une pour $(x, y) = (0, 0)$

Pour comprendre ce cas spécial, , il faut de que approfondisse l'exercice depuis le début.

Si ça peut t'être utile, je t'indique un exemple simple où il n'y a pas cette difficulté.

Soit f définie sur $R^2$ par $f(x,y)=e^xcosy$

$f(0,0)=e0cos0=1×1=1f(0,0)=e^0cos0=1\times 1=1$

$δfδx(x,y)=fx(x,y)=excosy\dfrac{\delta f}{\delta x}(x,y)=f_x(x,y)=e^xcosy$

$δfδy(x,y)=fy(x,y)=−exsiny\dfrac{\delta f}{\delta y}(x,y)=f_y(x,y)=-e^xsiny$

Donc :

$δfδx(0,y0=fx(0,0)=e0cos0=1×1=1\dfrac{\delta f}{\delta x}(0,y0=f_x(0,0)=e^0cos0 =1\times 1=1$

$δfδy(0,0)=fy(0,0)=−e0sin0=0\dfrac{\delta f}{\delta y}(0,0)=f_y(0,0)=-e^0sin0=0$

le développement de Taylor de f à l'ordre 1 au voisinage de $(0, 0)$ est :
$f (x, y) = 1 + x (1) + y (0) + o (x, y)$

Cela veut dire que, au voisinage de $(0, 0)$ ,
$f(x,y))≈1+xf(x,y))\approx 1+x$

Test avec la formule de Taylor
$f(0.1,0.1)≈1.1f(0.1,0.1)\approx 1.1$

La valeur de $f (0.1, 0.1)$ obtenue avec la calculette est :
$f(0.1,0.1)≈1.09965...f(0.1,0.1)\approx 1.09965...$
(valeur que l'on pourrait pas trouver sans calculette...)

Bonne réflexion.

@mtschoon Bonjour madame merci beaucoup, j'aimerais besoin d'un lien portant sur le cours de développement limité

@medou-coulibaly , bonjour,

Regarde peut-être ici :
https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mathsup/cours/dls.html

@mtschoon ok merci beaucoup madame

De rien @medou-coulibaly et bon travail.