exercice avec une partie integrale

bonjour j'ai un long exo de type bac en trois partie et je coince vraiment car je ne comprend pa ce que l'on nous demande

dans la premiere partieon a étudier une fonction auxiliaire

dans la deuxieme parti:
f est la fonction définie sur R par:
f(x)=ln(x²+1)/x si x diff/ 0
f(x)=0 si x=o
démontrer que f est derivable en 0 etudier ses variation et sa limite en +oo(c'est fait)
2. prouvez que pour tout réel x>-1 ln(1+x) <= x (c'est fait)
déduisez en la position relative de Cf et de sa tangente en 0: la tangente en 0 c'est x mais je ne vois pas comment en deduire la postion de l'inégalité

la troisième partie (je ne comprend même pa la premiere question :s)
F est la fonction définie sur R par x: -> de 0 à xint( f(t)dt

r désigne un rééel strictement positif fixé: prouvez que F(r) et F(-r) sont les aires de domaines isométriques du plan. Déduisez en la parité de F
indiquez les variation de F sur R+
utilisez la position de Cf par raport à sa tangenteen 0 pour prouvez que 0
<= F(1) <= 1/2
3.démontrer que pour tout réel t >= 1:
ln(t²)/t <= ln(t²+1)/t <= ln(2t²)/t
losrque x >= 1 calculer int(de 1 a x) lnt/t puis déduisez en les limites de Fx et Fx/x en +oo
5.donnez l'allure de la courbe de F

j'espere que vous pourrez m'aider car la je suis perdue !
merci d'avance!

Salut.

Pour étudier la position relative, on cherche le signe de f(x)-x.

Pose l'opération, et mets tout au même dénominateur. Le numérateur devrait te rappeler ton inégalité en remplaçant x par ... .

Quelle est la parité de f ? Que peut-on en déduire sur les aires délimitées par:

L'axe des abscisses et la courbe de f(t), t allant de 0 à -r.
L'axe des abscisses et la courbe de f(t), t allant de 0 à r.

Ca c'est la partie isométrique(=même taille).

Ensuite, d'après la signification de l'intégrale(c'est un calcul d'aire justement, tu as dû voir ça). Qu'en déduis-tu sur la parité de F ?

@+

pour le changement de variable j'ai le droit de poser X=x² ? pourtant ils ne sont pas du même degrès?!

Salut.

Ca ne fait rien. Je ne sais pas si on t'a expliqué ce qu'est une bijection. Je me rappelle que mon prof de TS l'avait expliqué à la classe.

Ce qu'il faut, c'est que le changement x→x² soit une bijection , et que x et x² parcourent les même intervalles.

Or, si x est supérieur ou égal à zéro, c'est le cas. Donc tu peux.

Mais, il se peut que tu ne connaisses pas, et donc ce que je vient d'écrire te passe par dessus la tête(c'est pas au programme de TS de savoir quels changements sont valables). Quoiqu'il en soit, ici ça marche.

Dans ton exercice, ecrit juste que tu poses le changement de variable x=X². Au besoin demande à ton prof si tu as le droit, après avoir rédigé ta démonstration.

Un exemple où marche ce changement pour te rassurer:

Pour résoudre certaines équations, comme $x^4$ +x²-12=0.

On pose X=x². Ce qui nous ramène à X²+X-12=0, et on résout. Tu as déjà dû rencontrer ce genre de trucs non?

@+