Sujet maths arithmétique

Bonsoir,
Voilà un problème que je dois résoudre :
Montrer qu'il existe aucun couple de rationnelles (u,v) tel que u²+v² = 3.

Voilà comment j'ai procédé:
D'abord si u et v sont des rationnelles alors on peut écrire u=x/y et v = p/q ( avec x, y, p, et q des entiers).

Le problème se réécrit donc ainsi (x/y)² + (p/q)² = 3

On met tout au même dénominateur et on obtient :
(x²q²+p²y²)/q²y² = 3

D'où x²q² + p²y² = 3q²y²

D'où (xq)² + (pu)² = 3 (qy)²

Or si une somme de carrés est congrue à 0 modulo 3 alors nécessairement chacun des carré est congrue à 0 modulo 3. Ainsi (xq)² et (pu)² sont congrues à 0 modulo 3 et obligatoirement (xq) et (pu) sont congrues à 0 modulo 3. Alors xq =3k (k un entier) et pu = 3k' (k' un entier).
Et donc 3²(k² +k'²) = 3 (qy)²
D'où 3(k²+k'²) = (qy)²
Mais alors (qy)² congrue à 0 modulo 3 par conséquent (qy) aussi. qy = 3b
Donc (qy)² = 3²b²
D'où k² + k'² = 3b² .
Par le principe de la descente infini de Fermat l'existence d'un tel couple est impossible ce qui achève la démonstration.

Je voulais savoir si mon raisonnement est correct. Hâte de lire vos réponses.
Bonne soirée.