Vérifier si l'ensemble est un espace vectoriel

[-lala-o]

Bonjour, j'aimerais avoir une correction pour cet exercice :
Vérifier si l'ensemble est un espace vectoriel : E={(x,y)$ϵR^2$ | sin(x+y)=0}
Voilà ma résolution :

[mtschoon]

@lala-o , bonsoir,
Je pense que ta question est de savoir si $E$ est un SEV de $R^2$
Cela me semble correct.

[-lala-o]

@mtschoon Bonjour, je viens de vérifier dans mon cours et il m'est bien demandé de montrer si ce sont des espaces vectoriels, non pas des sous espaces vectoriels.

[mtschoon]

@lala-o , bonjour,

Sans te le dire, ton cours, pour simplifier, doit considérer que $R^2$, muni des operations usuelles, est un espace vectoriel (ça a dû être démontré en cours), et te demande démontrer que $E$ est un sous espace-vectoriel de $R^2$

Je te mets un lien sur la définition de sous-espace vectoriel
https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./s/sev.html

Si tu voulais démontrer avec rigueur que $E$ est un espace vectoriel, il faudrait faire beaucoup plus de travail ! :

Regarde ici la définition exacte d'un espace vectoriel
https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~michel.rumin/enseignement/S2PMCP/3-Espaces vectoriels.pdf

Il faudrait que tu prouves toutes les propriétés de la loi interne (addition) et de la loi externe (multiplication par un réel)...

Utilise donc, sans soucis, la simplification de ton cours ( bien que j'aurais préféré que l'énoncé te dise de prouver que $E$ est un sous-espace vectoriel de $R^2$, ce qui aurait été plus correct )

[-lala-o]

@mtschoon Je pense que le but de l'exercice est bien de montrer que c'est un espace vectoriel et pas un sous espace vectoriel. Dans ce cas, est ce que ma résolution est-elle toujours correcte? Si l'on prouve que E est un sous espace vectoriel, E est forcément un espace vectoriel, non? Voilà une photo de l'exercice complet (l'exercice demandé est la sous question vii)

[mtschoon]

@lala-o ,
En toute rigueur un sous-espace vectoriel, comme son nom l'indique, est un espace-vectoriel inclus dans un espace vectoriel.

Quand on est dans un espace vectoriel (ici $R^2$), un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel ( c'est à dire un espace vectoriel inclus dans $R^2$) s'il est non vide, stable pour l'addition et pour la multiplication par un scalaire.

Regarde les liens que je t'ai indiqués.

Donc, ta résolution est correcte.