Lieux géométriques (synthétique)


  • -lala-o

    Bonjour, j'aimerais de l'aide pour cet exercice :
    "Recherche et construis le lieu du sommet d'un angle constant α\alphaα dont les côtés sont tangents respectivement à 2 cercles donnés de même centre O."


  • mtschoon

    @lala-o , bonjour,

    Je te donne une idée possible mais il faudra détailler l'explication avec rigueur.

    cercles.jpg
    Notations:

    (C1)(C_1)(C1) et (C2)(C_2)(C2) deux cercles de centre OOO (un en rouge et l'autre en bleu sur le schéma)
    (T1)(T_1)(T1) et (T2)(T_2)(T2) les tangentes qui se coupent en AAA telles que HAK^=α\widehat{HAK}=\alphaHAK=α

    Analyse :

    Rappel : la somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut 2π2\pi2π radians
    Les tangentes étant perpendiculaires aux rayons, dans le quadrilatère OHAKOHAKOHAK , vu que HAK^=α\widehat{HAK}=\alphaHAK=α, tu peux déduire après calculs, que nécessairement HOK^=π−α\widehat{HOK}=\pi-\alphaHOK=πα

    Synthèse : construction d'un point AAA du lieu cherché
    Tu prends un point quelconque HHH sur (C1)(C_1)(C1).
    Tu places KKK sur (C2)(C_2)(C2) tel que HOK^=π−α\widehat{HOK}=\pi-\alphaHOK=πα
    Tu traces les tangentes (T1)(T_1)(T1) et (T2)(T_2)(T2)
    Tu obtiens ainsi le point AAA, intersection de ces 2 tangentes tel que HAK^=α\widehat{HAK}=\alphaHAK=α

    Tu as donc construit un point AAA du lieu cherché.

    Conséquence :
    Par toute rotation de centre 000, l'ensemble (T1),(T2),H,K,A)(T_1), (T_2), H,K, A)(T1),(T2),H,K,A), aura pour image l'ensemble (T1′),(T2′),H′,K′,A′)(T'_1), (T'_2), H',K', A')(T1),(T2),H,K,A) tel que H′A′K′^=HAK^=α\widehat{H'A'K'}=\widehat{HAK}=\alphaHAK=HAK=α

    Le lieu cherché sera le cercle (Γ)(\Gamma)(Γ) de centre OOO passant par AAA (en vert sur le schéma)


  • -lala-o

    @mtschoon Bonsoir, merci pour votre explication. Pourriez vous également m'aider pour déterminer le rayon du cercle du lieu ?


  • mtschoon

    @lala-o , bonsoir,

    Vu que tu cherches une explication "synthétique" d'après ton titre, donc sans géométrie analytique dans un repère du plan, tu ne peux pas avoir une expression numérique du rayon.

    AAA étant construit (voir la partie Synthèse), AAA est ainsi un point fixé, le lieu est le cercle (Γ)(\Gamma)(Γ) de centre OOO et de rayon OAOAOA


  • -lala-o

    @mtschoon Bonjour, je ne comprends pas ce que je dois faire pour démontrer que le lieu est un cercle et que son rayon est OA.


  • mtschoon

    @lala-o ,

    Idée :

    Comme déjà indiqué, tu construis un point AAA du lieu cherché.

    Les autres points du lieu se déduisent du point AAA en faisant des rotations de centre OOO

    Pour toute valeur xxx , par rotation R(O,x)R(O,x)R(O,x) :
    (T1)(T_1)(T1) a pour image (T1′)(T'_1)(T1)
    (T2)(T_2)(T2) a pour image (T2′)(T'_2)(T2)
    HHH a pour image H′H'H
    KKK a pour image K′K'K
    AAA a pour image A′A'A

    Par rotation, les angles, les distances, sont conservées.
    OA=OA′OA=OA'OA=OA
    H′OK′^=α\widehat{H'OK'}=\alphaHOK=α

    D'où la conclusion.


  • -lala-o

    @mtschoon Bonjour, merci beaucoup pour vos réponses ! Voici ma résolution. Est-elle correcte?
    Capture d'écran 2024-04-10 172311.png


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