Lieux géométriques (synthétique)

Bonjour, j'aimerais de l'aide pour cet exercice :
"Recherche et construis le lieu du sommet d'un angle constant $α\alpha$ dont les côtés sont tangents respectivement à 2 cercles donnés de même centre O."

@lala-o , bonjour,

Je te donne une idée possible mais il faudra détailler l'explication avec rigueur.

Notations:

$C_1)$ et $C_2)$ deux cercles de centre $O$ (un en rouge et l'autre en bleu sur le schéma)
$T_1)$ et $T_2)$ les tangentes qui se coupent en $A$ telles que $HAK^=α\widehat{HAK}=\alpha$

Analyse :

Rappel : la somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut $2π2\pi$ radians
Les tangentes étant perpendiculaires aux rayons, dans le quadrilatère $O H A K$ , vu que $HAK^=α\widehat{HAK}=\alpha$ , tu peux déduire après calculs, que nécessairement $HOK^=π−α\widehat{HOK}=\pi-\alpha$

Synthèse : construction d'un point $A$ du lieu cherché
Tu prends un point quelconque $H$ sur $C_1)$ .
Tu places $K$ sur $C_2)$ tel que $HOK^=π−α\widehat{HOK}=\pi-\alpha$
Tu traces les tangentes $T_1)$ et $T_2)$
Tu obtiens ainsi le point $A$ , intersection de ces 2 tangentes tel que $HAK^=α\widehat{HAK}=\alpha$

Tu as donc construit un point $A$ du lieu cherché.

Conséquence :
Par toute rotation de centre $0$ , l'ensemble $T_1), (T_2), H,K, A)$ , aura pour image l'ensemble $T'_1), (T'_2), H',K', A')$ tel que $H′A′K′^=HAK^=α\widehat{H'A'K'}=\widehat{HAK}=\alpha$

Le lieu cherché sera le cercle $(Γ)(\Gamma)$ de centre $O$ passant par $A$ (en vert sur le schéma)

@mtschoon Bonsoir, merci pour votre explication. Pourriez vous également m'aider pour déterminer le rayon du cercle du lieu ?

@lala-o , bonsoir,

Vu que tu cherches une explication "synthétique" d'après ton titre, donc sans géométrie analytique dans un repère du plan, tu ne peux pas avoir une expression numérique du rayon.

$A$ étant construit (voir la partie Synthèse), $A$ est ainsi un point fixé, le lieu est le cercle $(Γ)(\Gamma)$ de centre $O$ et de rayon $O A$

@mtschoon Bonjour, je ne comprends pas ce que je dois faire pour démontrer que le lieu est un cercle et que son rayon est OA.

@lala-o ,

Idée :

Comme déjà indiqué, tu construis un point $A$ du lieu cherché.

Les autres points du lieu se déduisent du point $A$ en faisant des rotations de centre $O$

Pour toute valeur $x$ , par rotation $R (O, x)$ :
$T_1)$ a pour image $T'_1)$
$T_2)$ a pour image $T'_2)$
$H$ a pour image $H^{'}$
$K$ a pour image $K^{'}$
$A$ a pour image $A^{'}$

Par rotation, les angles, les distances, sont conservées.
$O A = O A^{'}$
$H′OK′^=α\widehat{H'OK'}=\alpha$

D'où la conclusion.

@mtschoon Bonjour, merci beaucoup pour vos réponses ! Voici ma résolution. Est-elle correcte?
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