Nombre complexe trigonométrique

Bonsoir
1.écrire sous forme trigonométrique $Z=(1−i3)(1−i)Z=(1-i\sqrt3)(1-i)$
2. Monter que la fonction f défini par $f(Z)=z+a1+a‾zf(Z)=\dfrac{z+a}{1+\overline{a}z}$ $(a∈C,∣a∣≠1(a\in\mathbb{C},|a|\neq1$ ) est bien définie sur l’ensemble $U$ de n’ombres complexes de module 1
3.donner la nature et les éléments caractéristiques de l’application F du plan d’expression complexe $Z’=3+i2+2iZZ’=\dfrac{\sqrt{3}+i}{2+2i}Z$

Aidez moi avec la question 2et 3 svp

@Zeïnab-Mahamadou , bonsoir,

Quelque pistes à creuser,

Pour la 1), tu as dû trouver $e−7iπ12Z=2\sqrt2\ e^{\dfrac{-7i\pi}{12}}$

Pour la 2), si j'ai bien lu,

$f(z)=z+a1+aˉzf(z)=\dfrac{z+a}{1+\bar a z}$ avec $a∈Ca\in C$ et $∣a∣≠1|a|\ne 1$

$∣ z ∣ = 1$ c'est à dire $z=eiθz=e^{i\theta}$

La condition d'existence est $1+aˉz≠01+\bar a z\ne 0$ c'est à dire
$1+aˉeiθ≠01+\bar a e^{i\theta}\ne 0$

Tu peux raisonner par l'absurde en partant de $1+aˉeiθ=01+\bar a e^{i\theta}= 0$ et trouver une impossibilité

Pour la 3) tu transformes :

$Z′=22e−iπ12ZZ'=\dfrac{\sqrt 2}{2}e^{\dfrac{-i\pi}{12}}Z$

Regarde ton cours sur les similitudes planes directes

f est la similitude de centre $O$ , de rapport $22\dfrac{\sqrt 2}{2}$ et d'angle $−π12\dfrac{-\pi}{12}$

Bons calculs.

@mtschoon bonsoir , oui c’est a différent de 1
Mais pourquoi. |z|=1?

@Zeïnab-Mahamadou , l'énoncé indique qu'il faut que tu justifies que la fonction $f$ est définie sur l’ensemble $U$ des nombres complexes de module 1

Tu dois donc prouver que pour tout $z$ de module 1 (c'est à dire $∣ z ∣ = 1$ ) , $f (z)$ est calculable.