3. Loi binomiale surbooking

Loi binomiale surbooking

  • K

    Bonjour
    Une compagnie aérienne dispose de300 places dans l’avion.
    Les comportements des clients sont indépendants les uns des autres.
    Elle pense que 10% des clients qui ont acheté un billet annulent leur voyage.
    La probabilité qu’un client se présente pour le départ est 90%.
    La variable aléatoire Xn compte le nombre de clients se présentant pour départ suit une loi binomiale B(Xn,0,90).
    La compagnie pratique le surbooking.
    Elle doit déterminer le plus grand nombre n, n > 300, de billets vendus avec un risque 2,5%.
    Déterminer n.

    Réponse:
    La formule de la loi binomiale est:
    P(Xn=k)=C(n,k)0,9^k0,1^(n-k)=0,025
    Bon, je ne me rappelle plus comment continuer.
    Merci d'avance.

  • mtschoon

    @kadforu , bonjour,

    Je pense que tu as fait une faute de frappe en écrivant" La variable aléatoire Xn compte le nombre de clients se présentant pour départ suit une loi binomiale B(Xn,0,90)".

    Je pense que tu as voulu écrire que la variable que tu appelles XnX_nXn​ qui représente le nombre de clients se présentant au départ, suit une loi binomiale B(n,0.9)B(n, 0.9)B(n,0.9)

    La formule de la loi binomiale est bien
    P(Xn=k)=C(n,k)0,9k0.1n−kP(X_n=k)=C(n,k)0,9^k0.1^{n-k}P(Xn​=k)=C(n,k)0,9k0.1n−k

    1−0.025=0.9751-0.025=0.9751−0.025=0.975

    Si j'ai bien compris l'énoncé, Il faut que tu cherches le plus grand nombre nnn (n>300n\gt300n>300) tel que :
    P(Xn≤300)≥0.975P(X_n\le 300)\ge 0.975P(Xn​≤300)≥0.975

    c'est à dire :
    ∑k=0k=300C(n,k)0,9k0.1n−k≥0.975\displaystyle \sum_{k=0}^{k=300}C(n,k)0,9^k0.1^{n-k}\ge 0.975k=0∑k=300​C(n,k)0,9k0.1n−k≥0.975

    Vu le nombre de termes, le calcul à la main est mission presque impossible !

    Certaines calculettes le font directement avec la fonction BinomFrep
    Voir lien :
    https://coursmathsaix.fr/wp-content/uploads/2020/01/comment-calculer-une-probabilite-avec-une-loi-binomiale-2-.pdf

    La mienne( ancienne) ne le fait pas .
    J'ai utilisé un calculateur en ligne
    J'obtiens :
    ...
    Pour n=321,P(Xn≤300)=0.988374n=321,P(X_n\le 300)=0.988374n=321,P(Xn​≤300)=0.988374
    Pour n=322,P(Xn≤300)=0.981048n=322,P(X_n\le 300)=0.981048n=322,P(Xn​≤300)=0.981048
    Pour n=323,P(Xn≤300)=0.970325n=323,P(X_n\le 300)=0.970325n=323,P(Xn​≤300)=0.970325
    Pour n=324,P(Xn≤300)=0.955266n=324,P(X_n\le 300)=0.955266n=324,P(Xn​≤300)=0.955266
    ...
    La plus grande valeur de nnn qui convient est : 322322322

    Avec un risque de 2.5%, la compagnie peut mettre en vente 322 billets et ne pas avoir plus de 300 clients qui se présentent au départ.

  • K

    Merci pour ta réponse!
    J'ai essayé avec: 1-P(Xn​)≤300)=0.025 et ça marche.
    Est ce que c'est le hasard ou est ce que:
    1-P(Xn​≤300)=0.025 équivaut à P(Xn​≤300)≥0.975 ?

  • mtschoon

    @kadforu , bonsoir,

    Ce n'est pas un hasard (en mettant ≤\le≤ au lieu de ===, en toute rigueur)

    Tu as dû chercher la plus grande valeur de nnn telle que
    1−P(Xn≤300)≤0.0251-P(X_n\le 300) \le 0.0251−P(Xn​≤300)≤0.025

    Explication :

    P(Xn≤300)≥0.975P(X_n\le300)\ge0.975P(Xn​≤300)≥0.975 , en multipliant par −1-1−1, équivaut à :
    −P(Xn≤300)≤−0.975-P(X_n\le300)\le-0.975−P(Xn​≤300)≤−0.975 , en ajoutant 1, équivaut à :
    1−P(Xn≤300)≤1−0.9751-P(X_n\le300)\le 1-0.9751−P(Xn​≤300)≤1−0.975, c'est à dire :
    1−P(Xn≤300)≤0.0251-P(X_n\le 300) \le 0.0251−P(Xn​≤300)≤0.025

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