Exercice Geometrie/Nombres complexes
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BBlaine Sirius dernière édition par
Bonjour! J'ai besoin d'aide pour la toute dernière question de cette exercice j'ai réussi à tout démontrer mais je suis bloquée à la toute dernière. Voici l'énoncé:
Le but de cet exercice est de déterminer les nombres complexes z non nuls tels que les points d'affixes 1, z2z^2z2 et 1z\frac{1}{z}z1 soient alignés.
(on a d'abord l'étude d'exemples particuliers que je vous épargne car je pense que c'était juste pour dire que si z était un nombre complexe, les points ne sont pas alignés. Mais dites moi si vous en avez besoin de la partie A)
Soit z un nombre complexe non nul. On note N le point d'affixe z2z^2z2 et P point d'affixe 1z\frac{1}{z}z1
Partie B- Établir que pour tout nombre complexe différent à 0 on a:
z2−1zz^2-\frac{1}{z}z2−z1=(z2+z+1)(z^2+z+1)(z2+z+1)(1−1z)(1-\frac{1}{z})(1−z1)
[J'ai dit que z2−1z=z3−1zz^2-\frac{1}{z} = \frac{z^3-1}{z}z2−z1=zz3−1 Puis j'ai réécrit z3−1z^3-1z3−1 comme étant
(z−1)(z2+z+1)(z-1)(z^2+z+1)(z−1)(z2+z+1) et j'ai divisé par z seulement (z−1)(z-1)(z−1) ce qui donne bien (z2+z+1)(z^2+z+1)(z2+z+1)(1−1z)(1-\frac{1}{z})(1−z1) ]- On rappelle que si u→\overrightarrow{u}u est un vecteur non nul et v→\overrightarrow{v}v un vecteur d'affixes respectives
zu→\overrightarrow{u}u et zv→\overrightarrow{v}v, les vecteurs sont colineaires ssi il existe un nombre reel k tel que zu→z\overrightarrow{u}zu = kkk * zv→z\overrightarrow{v}zv. En deduire que pour z pas égale à 0 les points A, N et P définis ci-dessus sont alignés ssi z2+z+1z^2+z+1z2+z+1 est un réel.
[J'ai remplacé les affixes des points dans l'expression d'avant z2−1zz^2-\frac{1}{z}z2−z1=(z2+z+1)(z^2+z+1)(z2+z+1)(1−1z) ⟺ (1-\frac{1}{z}) \iff(1−z1)⟺
zN→−zP→=(z2+z+1)zA→−zP→ ⟺ zPN→=(z2+z+1)zPA→z\overrightarrow{N} -z\overrightarrow{P} = (z^2+z+1)z\overrightarrow{A} -z\overrightarrow{P} \iff z\overrightarrow{PN} = (z^2+z+1) z\overrightarrow{PA}zN−zP=(z2+z+1)zA−zP⟺zPN=(z2+z+1)zPA Et donc si les vectaurs sont colinéaires il faut que (z2+z+1)(z^2+z+1)(z2+z+1) soit un réel]- On pose z= x+iy avec x et y réels. Justifier que z2+z+1=x2−y2+x+1+i(2xy+y)z^2+z+1= x^2 - y^2 + x +1 + i(2xy+y)z2+z+1=x2−y2+x+1+i(2xy+y)
[Là j'ai juste remplacé et développé]
C'est là où je galère
4) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z (pas égale à 0) tels que les points A, N et P soient alignés.
[J'ai commencé par dire que pour que les points soient alignés il faut que z2+z+1z^2+z+1z2+z+1 soit un réel donc j'ai écrit cette équation x2−y2+x+1+i(2xy+y)=kx^2 - y^2 + x +1 + i(2xy+y) = kx2−y2+x+1+i(2xy+y)=k Puis je voulais démontrer que deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont les mêmes parties réelle et imaginaire --> système d'équation
x2−y2+x+1=kx^2 - y^2 + x +1 = kx2−y2+x+1=k et
2xy+y=02xy+y= 02xy+y=0 (parce que k c'est un réel pur?) Mais j’aboutis à y=0 et x= -1/2 et après je sais plus quoi faire??]Merci de m'aide à comprendre!
- Établir que pour tout nombre complexe différent à 0 on a:
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mtschoon dernière édition par
@Blaine-Sirius , bonjour,
Cela me fait penser à un énoncé de Bac2019
Regarde peut-être ici :
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BBlaine Sirius dernière édition par
@mtschoon Oh! Ah oui, c'est presque pareil
Merci beaucoup !
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mtschoon dernière édition par
De rien @Blaine-Sirius et bon travail sur ton DM.