Fonction et suite numérique

[MMounah]

Bonsoir
On suppose que a € 1 = ]0; 2[. soit (Un) la suite numérique définie sur N par son premier terme Uo
et par la relation de récurrence Un+1 = fa (Un)
Avec $f_a(x)=\frac{(a+2)x}{x+2-a}$

1. Monter que ¥ n € N, U_n € ]0;2a[
   On précède par recurrrence
   -U_0€[0;2a]

• supposons que 0<U_n<2a et montre que 0<U_n+1<2a ¥ n € N
  0<U_n<2a => 2<U_n + 2<2a+2
  => 2-a<U_n +2-a <a+2
  (Bloqué) Oubien je dois déterminer la forme réduite de de U_n+1

[Black-Jack]

Bonjour,

f(x) = (a+2).x/(x+2-a) pour x compris dans ]0;2a[

f'(x) = ((a+2)(x+2-a)-(a+2).x))/(x+2-a)²
f'(x) = (a+2)(2-a)/(x+2-a)²
f'(x) = (2-a²)/(x+2-a)² > 0 --> f est croissante.

f(x) = max = lim(x--> 2a) f(x) = 2a(a+2)/(2a+2-a) = 2a(a+2)/(a+2) = 2a

Donc si Un < 2a, U(n+1) = f(Un) < 2a (1)

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Si Un > 0 et Un compris dans ]0;2a[ et a dans ]0 ; 2[, on a :

Si Un > 0
(a+2) Un > 0

On au aussi: Un + 2-a > 0 puisque 2-a > 0 -->
(a+2) Un/(Un + 2-a ) > 0
U(n+1) > 0 (2)

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(1) et (2) donnent :

Si 0 < Un < 2a, on a aussi 0 < U(n+1) < 2a (3)

On a 0 < U0 < 2a et donc par (3), on a 0 < U1 < 2a
On a alors 0 < U1 < 2a et donc par (3), on a 0 < U2 < 2a
et ainsi, de proche en proche, on a 0 < Un < 2a pour tout n de N

A vérifier, rien relu.