Fonction et intégral

Bonsoir aidez moi svp
Soit la fonction f définie sur R par $f(x)=ex−e−xex+e−xf(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^-x}$
1.Étudier f et tracer sa couve C dans un RON (O;I;j)
(Aidez moi avec la dérivée) j’ai trouver $4(ex+e−x)2\dfrac{4}{(e^x+e^-x)^2}$
2. Calculer l'aire A du domaine plan délimité par (C), (0; i) et les droites d'équations x = 0, x = In3.
J’ai trouvé 0 ce qui me semble tout a fait incorrect.
Je suis partie avec la primitive de la fonction ln|u(x)|
3.. Soit la suite (นา) definie par : U_0= In 3 et ¥ n = supérieur ou égal à 1 , $Un=∫0ln3(f(t)dt)nU_{n}=\displaystyle\int_{0}^{ln3}(f(t)dt)^n$
a) calculé $U_{1}$
$U_{1}$ =

@MMounah , bonsoir

Vu l'heure tardive, je regarde rapidement,

1 ) La dérivée que tu donnes est exacte.

Pour tout x réel, $\gt 0$ , $f$ strictement croissante.
En $−∞-\infty$ , la limite de $f$ est $- 1$
En $+∞+\infty$ , la limite de $f$ est $1$

Tu peux faire le tableau de variation et la courbe.

Pour la 2)

Une primitive de $f$ est bien $F$ définie par :
$F(x)=ln(|e^x+e^{-x}|)=ln(e^x+e^{-x})$ , vu que $ex+e−x>0e^x+e^{-x}\gt 0$

Vérifie tes calculs pour l'aire $A$

$A=[ln(ex+e−x)]0ln3=ln53\displaystyle A=\biggr[ln(e^x+e^{-x})\biggr]_0^{ln3}=ln\dfrac{5}{3}$

Vérifie ton calcul pour $A$ .
(Donne ton calcul pour vérification si tu n'arrives pas à trouver ton erreur)

@mtschoon bonsoir madame j’ai bien fait le tableau de variation pour l’aire
J’ai trouver $l n (3 - 3) - l n (1 - 1)$
$e^{-ln(3)}=-3$ non ?

@mtschoon
a) calculé $U_{1}$
$U_{1}$ = $ln(e^t+e^{-t})]_{0}^{ln3}$ = 0 comme l’aire que trouver ?
Voici la suite
b) Montrer que ¥ n € N $U_n≤(\dfrac{4}{5})^nln3$ , en déduire la limite de (Un)

@MMounah ,

@MMounah a dit dans Fonction et intégral :

@mtschoon bonsoir madame j’ai bien fait le tableau de variation pour l’aire
J’ai trouver $l n (3 - 3) - l n (1 - 1)$
$e^{-ln(3)}=-3$ non ?

C'est NON...
Je t'indique ton erreur .

$e−ln3=1eln3=13e^{-ln3}=\dfrac{1}{e^{ln3}}=\dfrac{1}{3}$

Cette erreur étant rectifiée, tu dois pouvoir calculer correctement $A$ (et tu trouveras $ln53ln\dfrac{5}{3}$ )

Bonjour,

$\int_0^{ln(3)} \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\ dx$
$A = [ln|e^x + e^{-x}|]_0^{ln{3}}$
$\frac{1}{3})-ln(2)$
$ln(\frac{10}{6}) = ln(\frac{5}{3})$

@Black-Jack , bonjour,

C'est bien d'avoir re-écrit le calcul de $A$ car j'avais fait 'gicler" le ln.

@Black-Jack bonsoir
merci la suite svp

@MMounah , je regarde un peu la suite.

Je pense que tu as voulu écrire dans l'énoncé
$Un=∫0ln3(f(t))ndt\boxed{\displaystyle U_n=\int_0^{ln3}(f(t))^n dt}$

Pour $n = 0$ , $U_0=ln3$

Pour $n = 1$ , $U1=∫0ln3f(t)dt\displaystyle U_1=\int_0^{ln3}f(t) dt$

Donc $U1=A=ln53U_1=A=ln\dfrac{5}{3}$

Tu sais , d'après l'étude des variations de $f$ , que pour $t$ compris entre $0$ et ln3 $f(t)\ge 0$ donc $(f(t))n≥0(f(t))^n \ge 0$ donc $Un≥0U_n\ge 0$

Au final, pour tout $n$ de $N$ , $Un≥0\boxed{U_n\ge 0}$

Reste à trouver que pour tout $n$ de $N$
$Un≤(45)nln3\boxed{U_n\le \biggr(\dfrac{4} {5}\biggr)^nln3}$

Une récurrence est possible

Pistes à expliciter,

Initialisation facile

Pour l'hérédité,
Tu supposes pour un naturel $n$ , $Un≤(45)nln3U_n\le\biggr (\dfrac{4} {5}\biggr)^nln3$
Tu dois démontrer que $Un+1≤(45)n+1ln3U_{n+1}\le \biggr(\dfrac{4} {5}\biggr)^{n+1}ln3$

Tu peux essayer une IPP
$Un+1=∫0ln3(f(t))n+1dt=∫0ln31×(f(t))n+1dt\displaystyle U_{n+1}=\int_0^{ln3}(f(t))^{n+1} dt=\int_0^{ln3}1\times (f(t))^{n+1} dt$
Tu poses $u(t)=(f(t))^{n+1}$ d'où $u^{'} (t)$ (à calculer)
Tu poses $v^{'} (t) = 1$ et $v (t) = t$

$Un+1=∫0ln3(u(t)(v′(t)dt=[u(t)v(t)]0ln3−∫0ln3v(t)u′(t)dt\displaystyle U_{n+1}=\int_0^{ln3}(u(t)(v'(t)dt=\biggr[u(t)v(t)\biggr]_0^{ln3}-\int_0^{ln3}v(t)u'(t)dt$

Tu justifies que $∫0ln3v(t)u′(t)dt\displaystyle \int_0^{ln3}v(t)u'(t)dt$ est positif
Donc :
$Un+1≤[u(t)v(t)]0ln3\displaystyle U_{n+1}\le\biggr[u(t)v(t)\biggr]_0^{ln3}$

Tu calcules
$[u(t)v(t)]0ln3=[t(et−e−tet+e−t)]0ln3=...=ln3(45)n+1\biggr[u(t)v(t)\biggr]_0^{ln3}=\biggr[t\biggr(\dfrac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}\biggr)\biggr]_0^{ln3}=...=ln3\biggr(\dfrac{4}{5}\biggr)^{n+1}$

D'où la réponse.

Bons calculs.

@mtschoon merci beaucoup madame

De rien @MMounah .
Nous avons fait au mieux, et j'espère que tu as trouvé la conclusion : la limite de $U_n)$ est $0$ .

@mtschoon bonjour
Oui lim (Un)=0 d’après le théorème des gendarmes

@MMounah bonjour
Voici la suite
C) Montrons que ¥ x ≥0 , $1-f’(x)=(f(x))^2$ et montrer que ¥ n€ N $Un+2−Un=−1n+1(45)n+1U_{n+2}-U_{n}=-\dfrac{1}{n+1}(\frac{4}{5})^{n+1}$
Je comptais calculer $U_{n+2}-U_{n}$ ca me paraît un peu long
Sinon j’ai trouver la première démonstration
D) déduire que ¥ n ≥1,
$U2n=ln3−∑p=1p=n12p−1(45)2P−1U_{2n}=ln3-\displaystyle\sum_{p=1}^{p=n}\dfrac{1}{2p-1}(\dfrac{4}{5})^{2P-1}$ et
$U2n+1=ln(53)−∑p=1p=n12p(45)2PU_{2n+1}=ln(\dfrac{5}{3})-\displaystyle\sum_{p=1}^{p=n}\dfrac{1}{2p}(\dfrac{4}{5})^{2P}$

@MMounah , bonjour,

La question C) se fait sans difficulté particulière en utilisant la propriété $f(x))^2-1=-f'(x)$
Je te mets quelques éléments
$Un+2−Un=∫0ln3[(f(t))n+2−(f(t))n]dt\displaystyle U_{n+2}-U_n=\int_0^{ln3 }[(f(t))^{n+2}-(f(t))^n ]dt$

Tu factorises
$Un+2−Un=∫0ln3f(t))n[f(t))2−1]dt\displaystyle U_{n+2}-U_n=\int_0^{ln3 }f(t))^{n}[f(t))^2-1]dt$

$Un+2−Un=−∫0ln3f(t))n[f′(t)]dt\displaystyle U_{n+2}-U_n=-\int_0^{ln3 }f(t))^{n}[f'(t)]dt$

$Un+2−Un=−[(f(t))n+1n+1]0ln3\displaystyle U_{n+2}-U_n=-\biggr[\dfrac{(f(t))^{n+1}}{n+1}\biggr]_0^{ln3}$

Tu termines le calcul.

@mtschoon j’ai pas compris Les deux dernières lignes d’où sort le moins ?

@MMounah

le "-" sort de la formule relative aux dérivées que tu as démontré précedemment ::

$f(t))^2-1=-f'(t)$

@mtschoon bonsoir
Merci j’ai compris

@MMounah bonsoir
Ça reste la question D )
Et
On pose $Sn=45+12(45)2+13(45)3+….+12n(45)2nS_{n}=\dfrac{4}{5}+\frac{1}{2}(\dfrac{4}{5})^2+\frac{1}{3}(\dfrac{4}{5})^3+….+\frac{1}{2n}(\dfrac{4}{5})^{2n}$
Calculer la limite de la suite Sn

~~

@MMounah , bonsoir,

Pour la question D, l'énoncé t'indique "en déduire"

Tu réfléchis donc à utiliser la réponse de la C) qui est :
Pou tout $n$ de $N$ :
$Un+2−Un=−1n+1(45)n+1U_{n+2}-U_n=-\dfrac{1}{n+1}(\dfrac{4}{5})^{n+1}$

Tu peux donc appliquer cette formule pour $n = 0, 1, 2, 3, . . .$
Il faut bien sûr distinguer les indices pairs et les indices impairs.

Je te mets sur la voie pour les indices pairs (avec une disposition commode, dite par télescopage)

$U_0=ln3$
$U2−U0=−(45)1U_2-U_0=-(\dfrac{4}{5})^1$
$U4−U2=−13(45)3U_4-U_2=-\dfrac{1}{3}(\dfrac{4}{5})^3$
$U_6-U_4=....$
...
...
$U2n−U2n−2=−12n−1(45)2n−1U_{2n}-U_{2n-2}=-\dfrac{1}{2n-1}(\dfrac{4}{5})^{2n-1}$

Tu ajoutes membre à membre ces égalités.
A gauche, presque tout se simplifie (en diagonale)
Regarde ce qu'il reste seulement.
A droite, aucune simplification et observe la somme obtenue.
Si tu comprends, tu obtiendras la premiere formule demandée.

Ensuite, tu pratiques de la même façon avec les indices impairs.

@mtschoon bonsoir madame, j’ai pu finir cet exercice et je l’ai bien compris merci beaucoup

@MMounah , c'est très bien et j'espère que tu as trouvé la limite de la suite $S_n$

@mtschoon oui oui je l’ai trouvée
La limite de Sn c’est Ln(5)

@MMounah

C'est parfait !