Application affine conique

Bonsoir
Le plan P est rapporté au repère orthonormé(O, i,j), C est le cercle d'équation $x^2+y^2-2x=0$ . Soit a, b deux réels fixés et $ϕa,b\phi_{a,b}$ l'application de P dans P tel que $M (x; y)$ —> $M ’ (x ’; y ’)$ tel que (système): $x ’ = x + a$
$y’=e^by$
3. Déterminer la nature $E_{a;b}$ transformée de(C) par $ϕa,b\phi_{a,b}$ . Préciser ses axes, ses sommets, son excentricité e.

@MMounah , bonjour,

Une piste pour démarrer,

Exprime x et y en fonction de x' et y'
$x = x^{'} - a$
$y=e^{-b}y'$

En remplaçant dans l'équation du cercle, tu dois obtenir, sauf erreur
$x'^2+e^{-2b}y'^2-2(a+1)x'+a^2+2a=0$

Tu peux maintenant, si tu le souhaites, très bien redonner aux variables leurs notations initiales et écrire l'équation de $E_{a,b})$ , dans le repère $(O,i→,j→)(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ sous la forme :
$x^2+e^{-2b}y^2-2(a+1)x+a^2+2a=0$

Pour continuer, je te mets un lien à creuser avec soin, si tu as des difficultés avec ton cours
https://www.bibmath.net/formulaire/index.php?action=affiche&quoi=conique

@MMounah, pour te donner une idée de la situation, je te mets la représentation graphique de $(C)$ et de $E_{1,1})$ , c'est à dire avec $a = 1$ et $b = 1$

Tiens nous au courant de ton avancée sur cet exercice.

@mtschoon bonjour madam à la place de -2(à+b) j’ai trouvé -2(à+1) dans l’équation

@mtschoon
Comment déterminer les axes

@MMounah a dit dans Application affine conique :

@mtschoon bonjour madam à la place de -2(à+b) j’ai trouvé -2(à+1) dans l’équation

Bonjour,

Je pense que c'est effectivement : ... - 2(a+1)x + ... = 0

On peut mettre l'équation sous la forme :

$(x−(a+1))212+y2(eb)2=1\frac{(x-(a+1))^2}{1^2} + \frac{y^2}{(e^b)^2} = 1$

... qui permet de trouver immédiatement le centre, les axes principaux et l'excentricité.

Attention pour l'excentricité, il faut traiter séparément les cas b >= 0 et b < 0

Bonjour,

@MMounah a dit dans Application affine conique :

@mtschoon bonjour madam à la place de -2(à+b) j’ai trouvé -2(à+1) dans l’équation

Oui, @MMounah , c'est bien $- 2 (a + 1)$ dans l'équation.
J'ai fait une faute de frappe .
J'ai bien mis $- 2 (a + 1)$ à la ligne suivante.

@Black-Jack t'a donné l'expression de l'ellipse;.
Si tu préfères (mais tu n'es pas obligé) obtenir l'expression usuelle, tu peux faire un changement d'axes par translation (changement d'origine)

je te mets la transformation, si besoin
$x^2-2(a+1)x=(x-(a+1))^2-(a+1)^2$
L'équation s'écrit
$x-(a+1))^2-(a+1)^2+e^{-2b}y^2+a(a+2)=0$
après simplifications
$x-(a+1))^2+e^{-2b}y^2=1$

Changement d'axes , avec pour origine $Ω(a+1,0)\Omega(a+1,0)$
$X = x - (a + 1)$
$Y = y$
Tu obtiens l'équation de l'éllipse dans le repère $(Ω,i→,j→)(\Omega,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$
$X212+Y2(eb)2=1\boxed{\dfrac{X^2}{1^2}+\dfrac{Y^2}{(e^b)^2}=1}$

Tu as tout ce qu'il faut pour trouver les carctéristiques de l'éllipse.
Tiens nous au courant si besoin.

@MMounah ,

Je t'ai mis 3 ellipses dans le schéma :
$E (1, 1)$ en vert
$E (1, 0)$ en noir
$E (1, - 1)$ en bleu

@mtschoon
Axe focal (o ;j)
Sommets principales B(0;e^b) et B’(0;-e^b)
Demi distance focale $C=e2b−1C=\sqrt{e^{2b}-1}$
e excentricité si b<0 ou b> 0 e= $e2b−1/eb\sqrt{e^{2b}-1}/e^b$ ) si b=0 e=0??

@MMounah
Soit $ϕ’\phi’$ le sous ensemble de $ϕ\phi$ défini par $b=−a2b=-a\sqrt{2}$ On note $f_{a}$ l'application $ϕa,b\phi_{a,b}$ de $ϕ’\phi’$
1.a)Soit $M_{0}(x_{0};y_{0})$ . Déterminer une équation $T_{M_{0}})$ ensemble des points f_a(M_0) quand a décrit R.
b) Pour quels points M_0 cet ensemble est-il une droite ?
c) Démontrer que $T_{M_{0}})$ est globalement invariant par tout élément de $ϕ’\phi’$
Des pistes sur a) et b) svp j’ai une idée pour c)

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Re-bonjour @MMounah

@MMounah a dit dans Application affine conique :

@mtschoon
Axe focal (o ;j)
Sommets principales B(0;e^b) et B’(0;-e^b)
Demi distance focale $C=e2b−1C=\sqrt{e^{2b}-1}$
e excentricité si b<0 ou b> 0 e= $e2b−1/eb\sqrt{e^{2b}-1}/e^b$ ) si b=0 e=0??

Revois te conclusions avec soin.

Eventuellement, consulte ici
https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/l-ellipse-conique-m1328

Le centre de l'éllipse n'est pas $O$ mais $Ω\Omega$

Vois les 3 cas possibles.

L'ellipse est "verticale" pour $b>0b\gt 0$ (axe Focal $(ΩY)(\Omega Y)$
L'ellipse est "horizontale" pour $b<0b\lt 0$ (axe Focal $(ΩX)(\Omega X)$
Vois l'axe focal, les sommets principaux , la distance focale et l'excentricité , dans chaque cas ( $b>0b\gt 0$ et $b<0b\lt 0$ ).

Cas "limite" $b = 0$ l'ellipse est le cercle de centre $Ω\Omega$ et de rayon $1$ ( $e = 0$ )

@mtschoon merci, j’ai compris

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