Intégral par parties
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MMMounah dernière édition par MMounah
Bonsoir
Pour tout entier naturel n strictement positif, on pose : U_n= ∫0n−1n[ln(x+1)−ln(1−x)]dx\displaystyle\int_{0}^{\frac{n-1}{n}}[ln(x+1)-ln(1-x)]dx∫0nn−1[ln(x+1)−ln(1−x)]dx
Montrer à l’aide d’une intégration par partie que ¥n €N* ,Un=(2n−1n)ln(2n−1n)−(ln(n)n)U_{n}=(\dfrac{2n-1}{n})ln(\dfrac{2n-1}{n})-(\dfrac{ln(n)}{n})Un=(n2n−1)ln(n2n−1)−(nln(n))Calculer la lim de Un .
Lim n___>+oo Un = 2ln2
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BBlack-Jack dernière édition par Black-Jack
Bonjour,
∫ln(x+1)dx\int ln(x+1) dx∫ln(x+1)dx
poser ln(x+1) = u --> dx/(x+1) = du
et poser dx = dv --> v = x
=x.ln(x+1)−∫xx+1dx= x.ln(x+1) - \int \frac{x}{x+1} dx =x.ln(x+1)−∫x+1xdx
=x.ln(x+1)−∫x+1−1x+1dx= x.ln(x+1) - \int \frac{x+1-1}{x+1} dx =x.ln(x+1)−∫x+1x+1−1dx
x.ln(x+1)−x+ln∣x+1∣x.ln(x+1) - x + ln|x+1| x.ln(x+1)−x+ln∣x+1∣I1=∫0n+1nln(x+1)dxI_1 = \int_0 ^{\frac{n+1}{n}} ln(x+1) dxI1=∫0nn+1ln(x+1)dx
I1=[x.ln(x+1)−x+ln∣x+1∣]0n+1nI_1 = [x.ln(x+1) - x + ln|x+1|]_0 ^{\frac{n+1}{n}}I1=[x.ln(x+1)−x+ln∣x+1∣]0nn+1
I1=2n−1n.ln(2n−1n)−n−1nI_1 = \frac{2n-1}{n}.ln(\frac{2n-1}{n}) - \frac{n-1}{n}I1=n2n−1.ln(n2n−1)−nn−1De manière similaire :
∫ln(1−x)dx\int ln(1-x) dx∫ln(1−x)dx
poser ln(1-x) = u --> -dx/(1-x) = du
et poser dx = dv --> v = x
...
...I2=∫0n+1nln(1−x)dx=−n−1n+ln(n)nI_2 = \int_0 ^{\frac{n+1}{n}} ln(1-x) dx = -\frac{n-1}{n} + \frac{ln(n)}{n}I2=∫0nn+1ln(1−x)dx=−nn−1+nln(n)
Et Un=I1−I2U_n = I_1 - I_2Un=I1−I2
Un=2n−1n.ln(2n−1n)−ln(n)nU_n = \frac{2n-1}{n}.ln(\frac{2n-1}{n}) - \frac{ln(n)}{n}Un=n2n−1.ln(n2n−1)−nln(n)Et :
limn→+∞Un=2.ln(2)lim_{n\to +\infty} U_n = 2.ln(2)limn→+∞Un=2.ln(2)A comprendre et compléter ...
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MMMounah dernière édition par
@Black-Jack merci