Probabilité d'une variable aléatoire d'un élément radioactif

Bonjour j'aimerais avoir besoin d'aide de votre part pour cet exercice.
I-
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa densité de probabilité est donnée par f(x) = λe ^ (- λx) avec λ un réel positif et x ≥ 0

Montrer que l'espérance mathématique de X est E(X) = 1/λ
2- Justifier que la fonction de répartition F de X est F(x) = 0, si x < 0 et F(x) = 1 - e ^ (- λx) si x ≥ 0

II- APPLICATION

La durée de vie d'une particule radioactive peut être modélisée par une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle. Notons T la durée de vie exprimée en milliers d'années d'une particule de carbone 14 , élément radioactif de demi-vie 5 700 ans (5,7 milliers d'années).
1- On sait à un instant t = 0 que la population est composée de λ noyaux radioactifs de carbone 14.
(a) Justifier que e^(-5,7λ) = 1/2 .
(b) Déterminer le paramètre à de la loi exponentielle suivie par X. En déduire la durée de vie moyenne en année d'une particule de carbone 14. (On arrondira la valeur de λ 10 ^(- 4) )
2- Quelle est la probabilité qu'une particule de carbone 14 se désintègre au bout de 10 000
ans ?
3- Sachant qu'une particule de carbone 14 ne s'est pas désintégrée au bout de 5 000 ans, quelle est la probabilité qu'elle ne se désintègre pas dans les 10 000 années suivantes.
4- Au bout de combien d'années cette particule se désintègre-elle avec une probabilité de 0,952

@medou-coulibaly Bonjour,

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@Noemi Bonjour merci beaucoup