DM: Géométrie des courbes et surfaces

[Donassi soungari Soro]

Bonjour j'espère que vous allez bien. J'ai besoin de l'aide sur cet exercice que je bloque.

Soit C la courbe d'équation x²+2xy+y²+2x+2y=0

1. Déterminer les points communs à toutes les courbes C₁.

2. Nature de C₁ suivant A.

3. Ensemble des centres des C

[Noemi]

@Donassi-soungari-Soro Bonjour,

L'énoncé est-il complet ?
A quoi correspond $C_1$ ?

[Donassi soungari Soro]

@Noemi exactement j'ai eu une toute petite erreur en saisissant je reposte le poste

[Donassi soungari Soro]

@Noemi soit Cκ la courbe d'équation
x² + 2λxy + y² + 2x + 2y = 0

1. Déterminer les points communs à toutes les courbes Cκ.
2. Nature de Cκ suivant λ.
3. Ensemble de centre des Cκ

[Black-Jack]

Bonjour,

Théorie :

L'équation générale d'une conique est de la forme :
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0

Le binôme caractéristique est: delta = AC - B²

si delta = 0 alors il s'agit d'une parabole
si delta > 0 alors il s'agit d'une ellipse
si delta < 0 alors il s'agit d'une hyperbole.

Avec x²+2.Lambda.xy+y²+2x+2y=0, on a :
A=1, B = Lambda, C = 1, D = 1, E = 1, F = 0
--> delta = AC-B² = 1 - Lambda²

Donc :
si 1-Lambda² = 0 alors il s'agit d'une parabole
si 1-Lambda² > 0 alors il s'agit d'une ellipse
si 1-Lambda² < 0 alors il s'agit d'une hyperbole.

Soit :
si (1-Lambda).(1+Lambda) = 0 alors il s'agit d'une parabole
si (1-Lambda).(1+Lambda) > 0 alors il s'agit d'une ellipse
si (1-Lambda).(1+Lambda) < 0 alors il s'agit d'une hyperbole.

Soit :
si Lambda = -1 ou Lambda = 1, alors il s'agit d'une parabole
si -1 < Lambda < 1, alors il s'agit d'une ellipse
si Lambda est compris dans ]-oo ; -1[ U ]1 ; +oo[, alors il s'agit d'une hyperbole.

A vérifier ...

---

Théorie :

Centre d'une conique

Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F = 0
Si AC-B^2 est différent de 0 (donc soit ellipse soit hyperbole) alors les coordonnées du centre sont solutions du système:

Ax + By + D = 0 (provient de la mise à 0 de la dérivée partielle première de Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F par rapport à x)
Bx + Cy + E = 0 (provient de la mise à 0 de la dérivée partielle première de Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F par rapport à y)

Et avec : A=1, B = Lambda, C = 1, D = 1, E = 1, F = 0
...

Ici,
Le système est :
x + Lambda.y + 1 = 0
Lambda.x + y + 1 = 0

...

A vérifier et continuer.

[Donassi soungari Soro]

@Black-Jack merci infiniment monsieur je vais vous revenir

[Donassi soungari Soro]

@Black-Jack la question 1 monsieur, Est ce que vous pouvez m'indiquer un peu le cheminement?

[Black-Jack]

@Donassi-soungari-Soro a dit dans DM: Géométrie des courbes et surfaces :

x² + 2λxy + y² + 2x + 2y = 0

Bonjour,

L'équation x² + 2λxy + y² + 2x + 2y = 0 est satisfaite quelle que soit la valeur de λ si on a : x = 0 et y² + 2y = 0 (--> y = 0 ou -2)

ou si on a : y = 0 et x² + 2x = 0 (--> x = 0 ou -2)

Donc les points de coordonnées (0 ; 0) et (0 ; -2) et (-2 ; 0) sont communs à toutes les courbes C1.

[Donassi soungari Soro]

@Black-Jack merci infiniment monsieur