Matrice carrée à coefficients réels


  • medou coulibaly
    8 juil. 2024, 19:21

    Bonjour/ Bonsoir j'espère que vous allez bien.
    J'ai besoin d'aide de votre de votre part.
    On considère l'ensemble E des matrices carrées à coefficients réels de la forme
    ( a 0 )
    ( b 0 )
    avec a ∈ ℝ* et b ∈ ℝ
    muni du produit des matrices.

    1. Montrer que E est ainsi muni d'une loi de composition interne associative.
    2. Déterminer tous les éléments neutres à droite de E.
    3. Montrer que E n'admet pas d'élément neutre à gauche.
    4. Soit e un élément neutre à droite. Montrer que tout élément de E possède un inverse à gauche pour cet élément neutre, c'est-à-dire ∀ g ∈ E, ∃ h ∈ E, hg=e

    Se connecter pour répondre
     

  • medou coulibaly
    9 juil. 2024, 12:32

    @medou-coulibaly Bonjour jusque-là j'ai toujours besoin d'aide


  • mtschoon
    13 juil. 2024, 13:33

    Bonjour,
    En ce moment, mes occupations m'empêchent de participer au forum !
    Comme j'y passe aujourd'hui, je regarde ta question @medou-coulibaly .

    Je te démarre ton exercice.
    J'espère que tu as compris de quel ensemble E dont il s'agit.
    Par exemple,
    (2  03  0)∈E\begin{pmatrix} 2\ \ 0\cr 3\ \ 0\end{pmatrix}\in E(2  03  0)E
    (2  13  0)∉E\begin{pmatrix} 2\ \ 1\cr 3\ \ 0\end{pmatrix}\notin E(2  13  0)/E

    1 ) Tu prends deux matrices quelconques de E
    M=(a  0b  0)M=\begin{pmatrix} a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}M=(a  0b  0) et M′=(a′  0b′  0)M'=\begin{pmatrix} a'\ \ 0\cr b'\ \ 0\end{pmatrix}M=(a  0b  0)

    Tu calcules M×M′M\times M'M×M avec la méthode usuelle

    Tu dois trouver :
    M×M′=(aa′  0ba′  0)M\times M'=\begin{pmatrix} aa'\ \ 0\cr ba'\ \ 0\end{pmatrix}M×M=(aa  0ba  0)

    M×M′M\times M'M×M est du bon type.
    Tu justifies que l'on a bien aa′∈R∗aa'\in R^*aaR et ba′∈Rba'\in RbaR
    Donc M×M′∈EM\times M'\in EM×ME
    La multiplication des matrices est bien une loi de composition interne dans E

    Pour prouver l'associativité, tu prends une 3ème matrice quelconque de E :
    M′′=(a′′  0b′′  0)M''=\begin{pmatrix} a''\ \ 0\cr b''\ \ 0\end{pmatrix}M=(a  0b  0)

    Tu calcules (M×M′)×M′′(M\times M')\times M''(M×M)×M et M×(M′×M′′)M\times( M'\times M'')M×(M×M)

    Tu dois trouver pareil donc :
    (M×M′)×M′′=M×(M′×M′′)(M\times M')\times M''=M\times( M'\times M'')(M×M)×M=M×(M×M), d'où la conclusion.

    Essaie de poursuivre.
    Bons calculs !


  • medou coulibaly
    14 juil. 2024, 13:23

    @mtschoon
    Bonjour madame j'ai pu faire la première avec votre explication.
    La 2ème j'ai du mal à démarrer


  • mtschoon
    14 juil. 2024, 13:34

    @medou-coulibaly , c'est bien si tu es arrivé à faire la question 1) en entier.

    Pour la 2 ), revois ton cours sur la définition d'élément neutre à droite.
    Soit (x  0y  0)\begin{pmatrix} x\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}(x  0y  0) un élément de EEE , neutre à droite.

    Tu dois chercher xxx et yyy tels quels que , pour toute matrice MMM de EEE :
    M×(x  0y  0)=MM\times \begin{pmatrix} x\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}=MM×(x  0y  0)=M

    c'est à dire : (a  0b  0)×(x  0y  0)=(a  0b  0)\begin{pmatrix} a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} x\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}(a  0b  0)×(x  0y  0)=(a  0b  0)

    Lorsque tu auras fait les calculs, tu peux donner ta réponse si tu veux une vérification.


  • medou coulibaly
    17 juil. 2024, 02:00

    @mtschoon Bonjour madame je m'excuse beaucoup auprès de vous.
    Le jour que vous étiez là apporté de l'aide mon e-mail a eu un problème et j'ai pu me connecter encore, j'ai tout fait afin que je puissiais me connecter mais je n'ai pas pu.
    Vraiment je suis désolé 🙏 et je m'excuse autant.


  • medou coulibaly
    17 juil. 2024, 02:03

    @mtschoon .Je veux qu'on bloque cet exercice ici, j'ai pleinement besoin d'aide en probabilité, et j'ai besoin de votre aide en probabilité.Et après mes exercices de probabilité, je vais revenir sur cet exercice.


  • medou coulibaly
    29 juil. 2024, 17:12

    @mtschoon Bonjour/Bonsoir
    Je trouve X =1 et y =1


  • mtschoon
    29 juil. 2024, 21:14

    @medou-coulibaly ,

    Oui pour x=1 mais y ne vaut pas forcément 1

    Si tu as fait le calcul matriciel, tu as dû obtenir
    (ax  0bx  0)\begin{pmatrix}ax\ \ 0\cr bx\ \ 0\end{pmatrix}(ax  0bx  0)= (a  0b  0)\begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}(a  0b  0)

    Donc ax=aax=aax=a avec a∈R∗a\in R^*aR donc x=aa=1x=\dfrac{a}{a}=1x=aa=1
    Pour x=1x=1x=1, la second équation bx=bbx=bbx=b est bien réalisée.
    x=1\boxed{x=1}x=1 convient , c'est ce que tu as trouvé.
    Mais, il n'y a aucune condition sur yyy
    yyy peut prendre toute valeur réelle

    Tous les éléments neutres à droite sont les matrices
    (1  0y  0)\begin{pmatrix}1\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}(1  0y  0)
    Il y en a une infinité.

    Essaie de poursuivre.


  • medou coulibaly
    30 juil. 2024, 01:14

    @mtschoon Bonjour madame demain matin je vais poursuivre et vous revenir 🙏😴😴


  • medou coulibaly
    3 août 2024, 00:21

    @medou-coulibaly
    Bonjour madame j'ai essayé, pouvez me donner un coup de main je n'arrive pas à m'ensortir


  • mtschoon
    3 août 2024, 13:50

    @medou-coulibaly , bojour,

    Je te conseille de voir ou revoir ton cours relatif aux éléments neutres et aux calculs matriciels.

    Pour la question 3, tu dois chercher l'existence d'un élément de E de la forme (x  0y  0)\begin{pmatrix}x\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}(x  0y  0), tel que , pour tout élément (a  0b  0)\begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}(a  0b  0) de E, on ait :
    (x  0y  0)×(a  0b  0)=(a  0b  0)\begin{pmatrix}x\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}(x  0y  0)×(a  0b  0)=(a  0b  0)

    Tu fais la multiplication matricielle, et tu trouves
    (xa  0ya  0)=(a  0b  0)\begin{pmatrix}xa\ \ 0\cr ya\ \ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}(xa  0ya  0)=(a  0b  0)

    xa=axa=axa=a c'est à dire x=aa=1x=\dfrac{a}{a}=1x=aa=1 (vu que a≠0a\ne 0a=0)

    ya=bya=bya=b c'est à dire y=bay=\dfrac{b}{a}y=ab (vu que a≠0a\ne 0a=0)

    Cette valeur trouvée pour y ne convient pas, car elle dépend des valeurs de a et de b.
    Par exemple,
    pour a=2 et b=1, tu obtiens y=2
    pour a=3 et b=2, tu obtiens y=1.5

    Donc, il n'y a pas pas d'élément neutre à gauche.

    Essaie la question 4), en utilisant la réponse de la question 2) et la définition qui est donnée dans la question 4).


  • mtschoon
    9 août 2024, 13:29

    @medou-coulibaly , bonjour,

    Je trouve que ton exercice stagne !
    Pas d'idée pour la question 4) ?

    Je t'indique des pistes en utilisant les notations de l'énoncé.
    g=(a  0b  0)g=\begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}g=(a  0b  0)
    e=(1  0y  0)e=\begin{pmatrix}1\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}e=(1  0y  0)
    Tu dois chercher h=(α  0β  0)h=\begin{pmatrix}\alpha\ \ 0\cr \beta\ \ 0\end{pmatrix}h=(α  0β  0) tel que :
    h×g=eh\times g=eh×g=e
    c'est à dire :
    (α  0β  0)×(a  0b  0)=(1  0y  0)\begin{pmatrix}\alpha\ \ 0\cr \beta\ \ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}(α  0β  0)×(a  0b  0)=(1  0y  0)

    Après calcul :
    αa=1\alpha a =1αa=1 et βa=y\beta a=yβa=y

    Vu que a≠0a\ne 0a=0
    α=1a\alpha=\dfrac{1}{a}α=a1 et β=ya\beta=\dfrac{y}{a}β=ay
    Tu justifies que α∈R∗\alpha \in R^*αR et β∈R\beta \in RβR

    Conclusion :
    h=(1a   0ya   0)\boxed{h=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{a}\ \ \ 0\cr \cr \dfrac{y}{a}\ \ \ 0\end{pmatrix}}h=a1   0ay   0

    Tout élément ggg de E possède un inverse à gauche hhh pour l'élément neutre eee à droite.

    Je te conseille de refaire seul l'exercice pour être sûr de le maîtriser.
    Bon travail


  • medou coulibaly
    10 août 2024, 22:40

    @mtschoon Bonjour madame j'ai compris et je vais bien reprendre merci beaucoup 🥰😍


  • medou coulibaly
    10 août 2024, 22:42

    @medou-coulibaly
    Bonjour madame j'ai besoin d'un lien du cours de transformation de fourrier, si possible en pdf


  • N
    Modérateurs 11 août 2024, 15:47


  • medou coulibaly
    12 août 2024, 00:13

    @Noemi merci beaucoup monsieur


  • mtschoon
    12 août 2024, 13:54

    Bonjour,
    @medou-coulibaly a dit dans Matrice carrée à coefficients réels :

    transformation de fourrier

    @medou-coulibaly , si tu as besoin d'aide sur la transformation de Fourier, il faudra ouvrir une autre discussion car cela n'a rien à voir avec les matrices carrées.


  • medou coulibaly
    12 août 2024, 23:31

    @mtschoon oui oui madame j'ai compris


Se connecter pour répondre
 

1 sur 19