Matrice carrée à coefficients réels

Bonjour/ Bonsoir j'espère que vous allez bien.
J'ai besoin d'aide de votre de votre part.
On considère l'ensemble E des matrices carrées à coefficients réels de la forme
( a 0 )
( b 0 )
avec a ∈ ℝ* et b ∈ ℝ
muni du produit des matrices.

Montrer que E est ainsi muni d'une loi de composition interne associative.
Déterminer tous les éléments neutres à droite de E.
Montrer que E n'admet pas d'élément neutre à gauche.
Soit e un élément neutre à droite. Montrer que tout élément de E possède un inverse à gauche pour cet élément neutre, c'est-à-dire ∀ g ∈ E, ∃ h ∈ E, hg=e

@medou-coulibaly Bonjour jusque-là j'ai toujours besoin d'aide

Bonjour,
En ce moment, mes occupations m'empêchent de participer au forum !
Comme j'y passe aujourd'hui, je regarde ta question @medou-coulibaly .

Je te démarre ton exercice.
J'espère que tu as compris de quel ensemble E dont il s'agit.
Par exemple,
$0)∈E\begin{pmatrix} 2\ \ 0\cr 3\ \ 0\end{pmatrix}\in E$
$0)∉E\begin{pmatrix} 2\ \ 1\cr 3\ \ 0\end{pmatrix}\notin E$

1 ) Tu prends deux matrices quelconques de E
$0)M=\begin{pmatrix} a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}$ et $0)M'=\begin{pmatrix} a'\ \ 0\cr b'\ \ 0\end{pmatrix}$

Tu calcules $M×M′M\times M'$ avec la méthode usuelle

Tu dois trouver :
$0)M\times M'=\begin{pmatrix} aa'\ \ 0\cr ba'\ \ 0\end{pmatrix}$

$M×M′M\times M'$ est du bon type.
Tu justifies que l'on a bien $aa′∈R∗aa'\in R^*$ et $ba′∈Rba'\in R$
Donc $M×M′∈EM\times M'\in E$
La multiplication des matrices est bien une loi de composition interne dans E

Pour prouver l'associativité, tu prends une 3ème matrice quelconque de E :
$0)M''=\begin{pmatrix} a''\ \ 0\cr b''\ \ 0\end{pmatrix}$

Tu calcules $(M×M′)×M′′(M\times M')\times M''$ et $M×(M′×M′′)M\times( M'\times M'')$

Tu dois trouver pareil donc :
$(M×M′)×M′′=M×(M′×M′′)(M\times M')\times M''=M\times( M'\times M'')$ , d'où la conclusion.

Essaie de poursuivre.
Bons calculs !

@mtschoon
Bonjour madame j'ai pu faire la première avec votre explication.
La 2ème j'ai du mal à démarrer

@medou-coulibaly , c'est bien si tu es arrivé à faire la question 1) en entier.

Pour la 2 ), revois ton cours sur la définition d'élément neutre à droite.
Soit $0)\begin{pmatrix} x\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}$ un élément de $E$ , neutre à droite.

Tu dois chercher $x$ et $y$ tels quels que , pour toute matrice $M$ de $E$ :
$0)=MM\times \begin{pmatrix} x\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}=M$

c'est à dire : $0)\begin{pmatrix} a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} x\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}$

Lorsque tu auras fait les calculs, tu peux donner ta réponse si tu veux une vérification.

@mtschoon Bonjour madame je m'excuse beaucoup auprès de vous.
Le jour que vous étiez là apporté de l'aide mon e-mail a eu un problème et j'ai pu me connecter encore, j'ai tout fait afin que je puissiais me connecter mais je n'ai pas pu.
Vraiment je suis désolé et je m'excuse autant.

@mtschoon .Je veux qu'on bloque cet exercice ici, j'ai pleinement besoin d'aide en probabilité, et j'ai besoin de votre aide en probabilité.Et après mes exercices de probabilité, je vais revenir sur cet exercice.

@mtschoon Bonjour/Bonsoir
Je trouve X =1 et y =1

@medou-coulibaly ,

Oui pour x=1 mais y ne vaut pas forcément 1

Si tu as fait le calcul matriciel, tu as dû obtenir
$0)\begin{pmatrix}ax\ \ 0\cr bx\ \ 0\end{pmatrix}$ = $0)\begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}$

Donc $a x = a$ avec $a∈R∗a\in R^*$ donc $x=aa=1x=\dfrac{a}{a}=1$
Pour $x = 1$ , la second équation $b x = b$ est bien réalisée.
$x=1\boxed{x=1}$ convient , c'est ce que tu as trouvé.
Mais, il n'y a aucune condition sur $y$
$y$ peut prendre toute valeur réelle

Tous les éléments neutres à droite sont les matrices
$0)\begin{pmatrix}1\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}$
Il y en a une infinité.

Essaie de poursuivre.

@mtschoon Bonjour madame demain matin je vais poursuivre et vous revenir

@medou-coulibaly
Bonjour madame j'ai essayé, pouvez me donner un coup de main je n'arrive pas à m'ensortir

@medou-coulibaly , bojour,

Je te conseille de voir ou revoir ton cours relatif aux éléments neutres et aux calculs matriciels.

Pour la question 3, tu dois chercher l'existence d'un élément de E de la forme $0)\begin{pmatrix}x\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}$ , tel que , pour tout élément $0)\begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}$ de E, on ait :
$0)\begin{pmatrix}x\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}$

Tu fais la multiplication matricielle, et tu trouves
$0)\begin{pmatrix}xa\ \ 0\cr ya\ \ 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}$

$x a = a$ c'est à dire $x=aa=1x=\dfrac{a}{a}=1$ (vu que $a≠0a\ne 0$ )

$y a = b$ c'est à dire $y=bay=\dfrac{b}{a}$ (vu que $a≠0a\ne 0$ )

Cette valeur trouvée pour y ne convient pas, car elle dépend des valeurs de a et de b.
Par exemple,
pour a=2 et b=1, tu obtiens y=2
pour a=3 et b=2, tu obtiens y=1.5

Donc, il n'y a pas pas d'élément neutre à gauche.

Essaie la question 4), en utilisant la réponse de la question 2) et la définition qui est donnée dans la question 4).

@medou-coulibaly , bonjour,

Je trouve que ton exercice stagne !
Pas d'idée pour la question 4) ?

Je t'indique des pistes en utilisant les notations de l'énoncé.
$0)g=\begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}$
$0)e=\begin{pmatrix}1\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}$
Tu dois chercher $0)h=\begin{pmatrix}\alpha\ \ 0\cr \beta\ \ 0\end{pmatrix}$ tel que :
$h×g=eh\times g=e$
c'est à dire :
$0)\begin{pmatrix}\alpha\ \ 0\cr \beta\ \ 0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}a\ \ 0\cr b\ \ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\ \ 0\cr y\ \ 0\end{pmatrix}$

Après calcul :
$αa=1\alpha a =1$ et $βa=y\beta a=y$

Vu que $a≠0a\ne 0$
$α=1a\alpha=\dfrac{1}{a}$ et $β=ya\beta=\dfrac{y}{a}$
Tu justifies que $α∈R∗\alpha \in R^*$ et $β∈R\beta \in R$

Conclusion :
$0)\boxed{h=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{a}\ \ \ 0\cr \cr \dfrac{y}{a}\ \ \ 0\end{pmatrix}}$

Tout élément $g$ de E possède un inverse à gauche $h$ pour l'élément neutre $e$ à droite.

Je te conseille de refaire seul l'exercice pour être sûr de le maîtriser.
Bon travail

@mtschoon Bonjour madame j'ai compris et je vais bien reprendre merci beaucoup 🥰

@medou-coulibaly
Bonjour madame j'ai besoin d'un lien du cours de transformation de fourrier, si possible en pdf

@medou-coulibaly Bonjour,

Un lien vers un cours : https://lipn.univ-paris13.fr/~poinsot/Cours/2014-2015/MOUT/Chapitre6_beamer.pdf

@Noemi merci beaucoup monsieur

Bonjour,
@medou-coulibaly a dit dans Matrice carrée à coefficients réels :

transformation de fourrier

@medou-coulibaly , si tu as besoin d'aide sur la transformation de Fourier, il faudra ouvrir une autre discussion car cela n'a rien à voir avec les matrices carrées.

@mtschoon oui oui madame j'ai compris