4. tangente commune à 2 courbes

tangente commune à 2 courbes

  • Christophe Christophe

    Bonjour à tous,

    voici mon problème du jour sur lequel je butte à la 3° question 😞

    ENONCE

    Soit fff la fonction définie sur R\RR par f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 et ggg
    la fonction définie sur R∗\R^*R∗ par g(x)=1xg(x)=\frac1xg(x)=x1​.

    L'objectif de ce problème est de montrer que les courbes de fff et ggg admettent une tangente commune dont on donnera une équation. On notera CfCfCf
    la courbe de fff et CgCgCg la courbe de ggg.

    1. Déterminer une équation de la tangente à CfCfCf au point d'abscisse aaa.

    2. Déterminer une équation de la tangente à CgCgCg au point d'abscisse bbb

    3. Démontrer que l'existence d'une tangente commune revient à résoudre le système
      2a=−1b²2a=-\frac{1}{b²}2a=−b²1​
      −a²=2b−a²=\frac 2b−a²=b2​

    4. Justifier que l'équation x3=−8x^3=−8x3=−8 admet une unique solution sur R\RR.
      Donner la valeur de cette solution.

    5. Conclure..

    MON TRAVAIL

    1. pas de difficulté
    2. pas de difficulté
      3)Comme les 2 tangentes à fff sont communes à fff, alors leurs équations sont égales. On a donc :

    y=2a(x−a)+f(a)y=2a(x-a)+f(a)y=2a(x−a)+f(a)
    y=−1b²(x−b)+g(b)y=-\frac{1}{b²}(x-b)+g(b)y=−b²1​(x−b)+g(b)

    2 polynômes sont égaux si leurs coefficients sont égaux on en déduit donc que 2a=−1b²2a=-\frac{1}{b²}2a=−b²1​
    J'ai donc bien la 1ère partie du système à résoudre. Mais je n'arrive pas à trouver la 2° partie du système.

    Je ne serais donc pas hostile à ce qu'un petit coup de pouce providentiel me parvienne 🙂

    Merci par avance à cette bonne âme 🙂

  • B

    Bonjour,

    Faut pas laisser f(a) et g(b) sous cette forme dans les équations des tangentes (points 1 et 2)

    Avec f(a) = a² et f(b) = 1/b, les équations des tangentes sont :

    Ta : y = 2ax - a²
    Tb: y = -x/b² + 2/b

    Et pour avoir Ta identique à Tb, il faut que le système suivant soit satisfait ::

    2a = -1/b²
    -a² = 2/b

    Christophe Christophe 1 réponse
  • Christophe Christophe

    arf je venais effacer mon post en espérant que personne ne l'aie vu 🙂 ..La nuit m'avait porté conseil ... bon tant pis j'aurai encore eu l'air con 🙂

    Quoiqu'il en soit, merci pour ton aide @Black-Jack 🙂

    JackAtik 1 réponse
  • JackAtik

    Bonjour @Christophe-Christophe,

    Poser une question n'est jamais "con", c'est plutôt ne pas la poser qui le serait.

    Même si entre-temps tu as trouvé la solution, ta question et les réponses qui y sont apportées pourront aider les autres.

    Merci donc de l'avoir posée.

  • mtschoon

    Bonjour,

    Tout à fait d'accord avec ta remarque @JackAtik.

    Pour consultation éventuelle relative à cette tangente commune , voir ici :
    https://www.youtube.com/watch?v=HAnG461B_y0

Se connecter pour répondre